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どなたか教えてください。

Lim(n→∞)1/n x Lim(m→0)1/m

の答えはゼロでしょうか、1でしょうか?

gooドクター

A 回答 (7件)

ゼロでしょうか、1でしょうか?


ゼロでもなく1でもなく、不能(解が存在しない)でもなく、不定(解が定まらない)でもなく。
解が定義されていない(未定義)が正解ではないかしら。
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質問の答えは、「わからない」「不定」ではなく、


「未定義」であることがわかっている
…ということを強調しておく。
lim[n→∞]1/n=0 であることも、
lim[m→0]1/m が発散することも、
積 0・∞ が上手く定義できないことも、
ちゃんと解っていることなので、
微妙な回答に惑わされないでほしい。
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 ゼロとも1とも言えないですね。

nとmの関連性が分からないからです。
 これを、たとえば変数がxということが共通の二つの関数f(x)とg(x)だということにしてみましょう。

 x→a(aは±∞を含めて何でもいいです)で、f(x)→0、g(x)→∞または-∞とします。これは教科書によって言い方は違うでしょうけど、たとえば「0×∞型」の極限と呼ばれています。

 これは、もうひとえにf(x)とg(x)の関数形次第となります。
 仮にaはある有限の値として、x→a(考えやすさの為、a>0としておきましょうか)で以下のようなことになります。

 たとえば、f(x)=1/(x-a)、g(x)=x-aだとすれば、lim f(x)g(x)=lim(1)=1です。
 たとえば、f(x)=1/(x-a)、g(x)=2(x-a)だとすれば、lim f(x)g(x)=lim(2)=2です。
 たとえば、f(x)=1/((x-a)^2)、g(x)=(x-a)だとすれば、lim f(x)g(x)=lim 1/(x-a)=∞(もしくは-∞)です。
 これ以外にも、f(x)とg(x)次第で、いろいろな結果があり得ます。

 このようにいろいろあり得ますが、お示しの場合では、nとmの関係性が不明なので、なんとも言えないわけです。

 このようなものは、お示しのような「0×∞」型以外にも、「0÷0」型、「∞-∞」型、「∞÷∞」型などなどの、関数の形次第でいろいろな結果がありえるものが、よく教科書で参考例が示されたりしています。
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この回答へのお礼

有難うこざいます。
私の理解の範囲を超えているようですが、なんとなく、すごいなとおもいます。
数学って奥が深いですね。

お礼日時:2012/04/19 12:10

電卓では0です。


OK 過去ログで面白いものを発見
光の重さは0なのにブラックホールに吸い込まれるのはなぜ?
とゆう質問。
答えられたらノーベル賞。
どうしても答えがほしいなら、
0×10万=0が10万個ある。
これで、桶。
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 この手の質問は何度も出てますね。



> ゼロでしょうか、1でしょうか?

 どちらでもなく、そもそも答がありません。

 Lim(n→∞)1/n は正確に0です。わざわざ「Lim(n→∞)1/n 」なんて書かなくたって「0」と書いても全く同じ。(「nがだんだん大きくなって‥」という話はLimの内側だけのことであって、(Lim(n→∞)1/n) というもの全体が0と等しいのです。特に、「Lim(n→∞)1/n =0という等式は、『nを無限大にすると1/nが0と等しくなる』ということを意味しているのではない」ということを覚えておいてください。)

 一方、Lim(m→0)1/m は発散。すなわちこれは数ではありません。(「mがだんだん0に近くなって‥」という話はLimの内側だけのことだ、という事情はLim(n→∞)1/nと同様ですけれども、(Lim(m→0)1/m)と等しい数はない。)ANo.1でご紹介の通りです。

 さて、数と数ならかけ算できますけれども、この場合には一方が数ではないのでかけ算の記号は意味を持ちません。つまり、「ご質問にお書きの記号の列は、そもそも式になっておらず、何も意味していない。だから答なんてものもない」ということです。
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不明



というのが正解

Lim(m→0)1/m これがまず不明だから

m → 0+0 ならば +∞
m → 0-0  ならば -∞

http://www24.atpages.jp/venvenkazuya/math3/limit …
これの 不明という回答になっているものの シンプル例

n m の 収束速度とかを定義してからやるんじゃなかったかなぁ < うろ覚え
n,m の 収束速度 最初の 不明で書いた URL での 近付き方の定義によって 一意に定まらないから、回答は 不明 というのが 正解。だったように 思う
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http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4232990.html
解は無いようです。
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