Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^2^(n+1)) ただし-1<x<1
を求めよという問題なのですが
(x^2^n)/(1-x^(2n+1)
=(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
とぶんかいできるので
Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
と置き換えられる
1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))
とも置き換えられるので
Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n))/2

1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n)はn=0~∞なので0 (ここが自信ないです)

Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^(n-1)) は発散する ( 1/(1-x^2^(n-1)>1 なので)

間違えてるところがあったら指摘お願いします

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A 回答 (2件)

(x^2^n)/(1-x^(2n+1))の分解と同じで


1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。
あと、自信ないと書かれているように、番号だけずれているような和どうしの差がn→∞でゼロとは限らないです。
それぞれの和が収束しない場合は慎重な議論が必要です。
収束するとしても、相殺されないで残る項がないか見ないといけません。
まず極限をとらず有限和を計算してはどうですか。
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この回答へのお礼

>1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。

そうですね 番号がずれている和同士の差が0になるのはお互い収束する場合でしょうか

ちょっとちがうかもしれませんが、整数と自然数の数が同じというのをしってからいまいち無限?の概念がわからないんですよね 

とりあえず有限和計算してみます

お礼日時:2012/04/20 22:16

あ, そうか.



1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))
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