Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^2^(n+1)) ただし-1<x<1
を求めよという問題なのですが
(x^2^n)/(1-x^(2n+1)
=(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
とぶんかいできるので
Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
と置き換えられる
1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))
とも置き換えられるので
Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n))/2

1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n)はn=0~∞なので0 (ここが自信ないです)

Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^(n-1)) は発散する ( 1/(1-x^2^(n-1)>1 なので)

間違えてるところがあったら指摘お願いします

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A 回答 (2件)

(x^2^n)/(1-x^(2n+1))の分解と同じで


1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。
あと、自信ないと書かれているように、番号だけずれているような和どうしの差がn→∞でゼロとは限らないです。
それぞれの和が収束しない場合は慎重な議論が必要です。
収束するとしても、相殺されないで残る項がないか見ないといけません。
まず極限をとらず有限和を計算してはどうですか。
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この回答へのお礼

>1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。

そうですね 番号がずれている和同士の差が0になるのはお互い収束する場合でしょうか

ちょっとちがうかもしれませんが、整数と自然数の数が同じというのをしってからいまいち無限?の概念がわからないんですよね 

とりあえず有限和計算してみます

お礼日時:2012/04/20 22:16

あ, そうか.



1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))
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微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き=tanθ=dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

Aベストアンサー

表記の仕方ですか?
dy/dxは 
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
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見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
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