Σ{n=0~∞} ((x^2^n)/(1-x^2^(n+1)) ただし-1<x<1
を求めよという問題なのですが
(x^2^n)/(1-x^(2n+1)
=(1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
とぶんかいできるので
Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^n)-1/(1+x^2^n))/2
と置き換えられる
1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))
とも置き換えられるので
Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n))/2

1/(1+x^2^(n-1)) -1/(1+x^2^n)はn=0~∞なので0 (ここが自信ないです)

Σ{n=0~∞} (1/(1-x^2^(n-1)) は発散する ( 1/(1-x^2^(n-1)>1 なので)

間違えてるところがあったら指摘お願いします

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

(x^2^n)/(1-x^(2n+1))の分解と同じで


1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。
あと、自信ないと書かれているように、番号だけずれているような和どうしの差がn→∞でゼロとは限らないです。
それぞれの和が収束しない場合は慎重な議論が必要です。
収束するとしても、相殺されないで残る項がないか見ないといけません。
まず極限をとらず有限和を計算してはどうですか。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

>1/(1-x^2^n)=(1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1)))/2になると思います。

そうですね 番号がずれている和同士の差が0になるのはお互い収束する場合でしょうか

ちょっとちがうかもしれませんが、整数と自然数の数が同じというのをしってからいまいち無限?の概念がわからないんですよね 

とりあえず有限和計算してみます

お礼日時:2012/04/20 22:16

あ, そうか.



1/(1-x^2^n)=1/(1-x^2^(n-1)) + 1/(1+x^2^(n-1))
    • good
    • 1

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q2018年からの大学入試の見直しについて

以前どこかで2018年からセンター試験や国立大学入試が見直され、ボランティアや部活動が点数化されるという話を聞いたのですが、本当でしょうか?

Aベストアンサー

「2020年」のことじゃないですか。ただし2020年度入試からと聞いていたので2020年4月入学かと(私は)思っていましたが、実際は2020年度中に行われる入試、すなわち2021年4月入学のための入試から、ということのようです。何だか紛らわしい。

さすがはベネッセ、わかりやすくまとめてあると思います↓

http://chu.benesse.co.jp/ck/2015-2021mirai/

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Q千葉大学入試について教えて下さい。千葉大学入試科目にセンター試験で選択

千葉大学入試について教えて下さい。千葉大学入試科目にセンター試験で選択してない理科とあったのですが、自分は、地学・生物を高校で選択しました。で、センターと千葉大学入試のどっちに地・生を選んだら良いですか。アドバイスお願いします。また、大学入試にある国語・現社・英語・Lは、教科から出るのですか。最後に英語のLとは何ですか。詳しく教えて下さい。お願いします。

Aベストアンサー

>センターと千葉大学入試のどっちに地・生を選んだら良いですか。アドバイスお願いします。
 自分で決めてください。
 あなたがどっちが得意なのか、センターと2次試験の配点の比率も書いてないのでなんとも言えません。

>最後に英語のLとは何ですか。
 リスニングでしょ。大丈夫ですか?

QΣ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2...

Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2n) /n! …(1)
ってどういう風に考えたら
e^x(x-1)^2とおけるのでしょうか?
テーラー展開の考え方を使うというのはわかるのですが
e^x(x-1)^2ってテーラー展開したら
Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2n) /n! なりますか?

テーラー展開は最近知ったばかりでよくわかりませんが、
f(x)=f(a)+f'(a)x/1!+f''(a)(x^2)/2!+f'''(a)(x^3)/3!+... …(2)
という式はしってます。 (証明とかはわかりませんが、基本的なsinxとかのテーラー展開はできます)

よくわからないのが、(1)式だと、分母がn!のときに分子のxが3n乗になってしまうのがよくわかりません。(2)式のとおり行く分母がn!のときに分子のxがn乗以外にはならない気がするのですが。。。
それともこれはF(x(x-1))=e^x(x-1)^2としてΣ{n=0~∞} ((x(x-1)^2)^n) /n!と考えるのでしょうか?

Aベストアンサー

#2,#3です。

A#3の補足の質問の回答

>収束半径と収束条件はまったく別の話をしているわけではなく、上限一点のみか、範囲かの違いですか?

その通りです。
参考URLの定理11にもあるように
収束半径をrとすると、収束条件(絶対収束)は
マクローリン展開(x=0の周りのテーラー展開、つまりxのべき乗和による展開)では
 |x|<r (即ち -r<x<r )
となります。

参考URL:http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/series1/node7.html

Q昔の大学入試(40年前ぐらい)と現代の大学入試は、どっちのほうが質が高いですか?

私の父親は今現在58歳なんですが、よく今の英語の入試と、昔の入試を比べて次のことを言います。

「昔の大学入試は、選択問題が少なく、長文も少なかったが質は良かった。私立で
も何処の大学でも英作文や文法問題がきっちり合った。今の大学入試は採点を楽
にする為に記号問題や量ばかりを増やして、速さを重視している。そういう傾向は
よろしくない」
みたいな事を言います。

そこで質問なのですが、根本的に英語の力を養うとしたら、昔の大学入試と現代の
大学入試はどちらのほうが質が良いと思いますか?

是非、皆さんの意見を聞かせてください。

Aベストアンサー

自分が受験生のころから何十年も入試を受け続けていますが(ただし,いまは試験監督や問題チェッカー,採点者として),傾向は変わっているかもしれませんね。

1.昔は課題文として,いささか古めかしい評論ふうのものが多かったように思いますが,いまは雑誌記事なども多いでしょう。実戦的になっています。それだけ社会や文化,技術などについての知識を前提として要求するようになりますから,高校の英語の先生では受験指導が大変なんじゃないか,と思うこともあります。

2.課題文を読んで正しいものを選べという選択問題は,選択式だからといって易しいとはいえません。課題文の細かなところまで読み込めていないと,正解が出せないように作問しますから。まあ,あてずっぽうでも何分の1かの確率で正解がえられますけどね。

3.文法問題は,昔も今もいわば点取り問題であって,「これができなきゃしょうがない」というものです。もっとも,いまのぼくは,いちおう正解はだせるものの教科書的には忘れてしまい,なぜ正しいかを説明できません 笑。

4.もし作文が減ったとすれば,採点が難しいからでしょう。専門外のぼくが読んでも「すっと読めるか,ひっかかるか」は判断できますが,さて部分点を何点をつけるかとなるとわかりません。答案枚数が多いと,限られた人数の英語の専門家やネイティヴ教員では対応できないのです。ぼくの目では,難関大学なら,いまもむかしもきっちり出題していると思いますが。

どっちがいいというわけではなく,きわめて個人的な印象です。

自分が受験生のころから何十年も入試を受け続けていますが(ただし,いまは試験監督や問題チェッカー,採点者として),傾向は変わっているかもしれませんね。

1.昔は課題文として,いささか古めかしい評論ふうのものが多かったように思いますが,いまは雑誌記事なども多いでしょう。実戦的になっています。それだけ社会や文化,技術などについての知識を前提として要求するようになりますから,高校の英語の先生では受験指導が大変なんじゃないか,と思うこともあります。

2.課題文を読んで正しいもの...続きを読む

QΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!の変形が

識者の皆様よろしくお願い致します。

B_nはz/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n! (但し,|z|<2π)を満たす数でBernoulli数といいます。
そして,B_n(x)はBernoulliの多項式です。
その時,Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)が成立つらしいのですが
どうすれは変形できるのか分かりません。どうぞご教示くださいませ。

Aベストアンサー

 計算を一通り追いかけられたのであれば、あとは大したことありません。u≠0のとき、ue^{ux}/(e^u-1)のxに関するテイラー展開が存在するのは明らかで、(Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!)のxに関するテイラー展開の各項がこれと一致する(ということは収束もする)というだけの話です。細かい計算まで吟味するなら、∞と言わずにlim{j→∞} Σ_{n=0}^j をお考えになれば?

Q大学入試の仕組みを教えてください。

一般的な大学入試の仕組みを教えてください。
また高校を中退した場合、もしくは通っていない場合の
大学入試の仕組みも教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

大学入試の仕組み:複雑で一言では書けません。
(1) 標準的な国公立大学の場合
入試センター試験を受ける(ほとんど必須)
その後、センター試験の点数を見て入れそうな大学に志願する(普通は前期・後期の2大学)
その大学の個別試験(二次試験という)を受ける
他志願者より、センター試験と個別試験の成績が良ければ合格
(2) 標準的な私立大学の場合
入試センター試験は受けなくて良い
受験日が重ならない限り、いくつでも受けてよい(同じ大学、同じ学部でも受けられる)
大学(学部)ごとの試験で良い点を取れば合格
(3) 推薦入試、AO入試
私立大学では、高校の校長の推薦があれば、ほとんど無試験で合格する
国立大学の推薦入試では、校長の推薦を貰った志願者の間で選抜する。面接だけで選ぶことが多い

高校中退もしくは通っていない場合
高認試験というものがあり、これに通れば大学は受けられる。高認に合格しなければ普通は大学受験資格はない

Q1/(1-x) = Σ{n=0~∞} x^n

「異端の数ゼロ」という本を読書中です.
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3・・・・
その中に,上記の式が出てくるのですが,証明方法が知りたいです.できるだけ簡単な証明法がよいです.

Aベストアンサー

1+x+x^2+x^3・・・・ をYとして
両辺にXをかけると
XY =x+x^2+x^3・・・・となるので
XY = Y-1
Y-XY = 1
Y(1-x) = 1

Q検定試験(大学入試)

現在高校1年生です。(私立の超バカ高校)
それで、大学入試に通用する資格をもっていたいんですよ。
大学入試に通用する資格はどういったものがありますか?

できれば推薦入試を希望しています。
(推薦してもらえるかはまだ分からないのですが・・・)

Aベストアンサー

大学入試に通用する資格とは、推薦入試のスコアアップが目指せると
いう意味でしょうか?。(今、普通科高校にご在学ですよね?)
それならば、学業に関係する「英検・漢検・数検」の「2級以上」を
取りましょう。そうすれば、内申書や各大学の評価基準にプラスにな
る所が多いと思います。ただ、各検定の2級は現役大学生や社会人で
も楽々取れるとは言い難いので、一定の努力が必要かと思います。
また、逆にこれらの検定に受かる力が身に付けば、無理に推薦入試を
受けなくても、中堅クラスの大学であれば一般入試で十分戦えます。
後は、工学部など理系学部を目指すのであり、数学・理科アレルギー
が無ければ、「第二種電気工事士」等もアピール材料にはなるかと。
(工業高校では普通に取りますが、普通科ではレアだと思います。)

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報