教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

xy平面上に放物線y=x^2のx≧0の部分をCとし、C上の点P(x,y)と点A(0,a)の間の距離をAPで表す。また、PがC上を動くとき、AP^2を最小にするPをP0とする。P0が原点Oと異なるようなaの範囲を求め、そのときのP0の座標をaを用いて表せ。


という問題がわかりません。
解答よろしくお願いいたします。

gooドクター

A 回答 (2件)

AP^2=x^2+(x^2-a)^2


    =x^4+(1-2a)x^2+a^2
    =(x^2+(1-2a)/2)^2+a^2-(1-2a)^2/4
これをx^2の二次式と考えると、
x^2=-(1-2a)/2のときAP^2は最小値をとります。POが原点でないということはAP^2の最小値を与えるxがゼロでない(x^2もゼロでない)ということであり、問題文よりx>=0なので
ー(1-2a)/2>0
これを解けばaの範囲が判ります。

x^2=-(1-2a)/2のときAP^2は最小になるのでPOの座標は
x=√(-(1-2a)/2)
y=-(1-2a)/2
となります。
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AP^2=x^2+(y-a)^2=x^2+(x^2-a)^2=x^4+(1-2a)x^2+a^2(=f(x^2)とおく)


x^2=t(≧0)とおくと
f(t)=t^2+(1-2a)t+a^2 (t≧0)
Pが原点以外でAP^2を最小にするには 
軸の式t=(2a-1)/2>0, 即ち a>1/2であれば良い。
この時、t=x^2=(2a-1)/2で
最小値f(a-(1/2))=a-(1/2)+1/4=a-(1/4)
をとる。

以上から a>1/2 ←答え
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