楕円の接線の問題
(1)接線の勾配は、楕円の方程式
..... (x/a)^2+(y/b)^2=1
をxで微分することで求めることができます。
微分すると、
.....2(1/a^2)x+2(1/b^2)y(dy/dx)=0
です。これを変形すると、
......dy/dx=-{(a^2)x}/{(b^2)y}
となりますので、点Pの勾配は(x,y)=(p,q)を代入して
.......-{(a^2)p}/{(b^2)q} ……(1)
です。
------------------------
(2)点Pを通り接線に垂直な直線は、傾きが(1)の逆数であることから、
........y-q={(b^2)q}/{(a^2)p}・(x-p) ……(2)
となります。
--------------------------
(3)式(2)のyに0を代入して、xについて解くと、交点Xのx座標が
.......x=p{1-(a/b)^2}
であると分かります。
式変形はこれであっていますか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>2(1/a^2)x+2(1/b^2)y(dy/dx)=0これを変形すると、
>dy/dx=-{(a^2)x}/{(b^2)y} …(α)
(α)のところ
dy/dx = -(x/a^2)/(y/b^2) (y≠0)
になるんじゃないの?
y=0の時には、ゼロ割になるのでので注意。
ちなみに、y=0の時の接線は
x = ±a (a>0)
>点Pを通り接線に垂直な直線は、傾きが(1)の逆数であることから、
>........y-q={(b^2)q}/{(a^2)p}・(x-p) ……(2)
>となります。
「傾きが(1)の逆数である」というのは明らかに間違いだよね。
法線の方程式の傾きをmとすると
m*{-(p/a^2)/(q/b^2)} = -1
で、mを求めるとき、(x=)p=0の時、ゼロ割が発生するので、注意が必要!!
この回答への補足
>(α)のところ
dy/dx = -(x/a^2)/(y/b^2) (y≠0)
どうしてy≠0になるのですか?y=0の時には、ゼロ割になるとはどういうことでしょうか?
同様にmを求めるとき、(x=)p=0の時、ゼロ割が発生するとはどういうことですか?
ちなみに、y=0の時の接線は
x = ±a (a>0)
というのはどうすれば求められますか?
No.3
- 回答日時:
(1) 「式変形」が間違ってます。
(2)接線に垂直な直線を法線と言います。「傾きが逆数」にはなりません。
(3) Xが何と何との交点なのかはっきりしないと、何の計算だか意味不明です。
No.1
- 回答日時:
式変形は正しいかもしれませんが、
>接線に垂直な直線は、傾きが(1)の逆数である
この考え方は正しいですか?
単純に逆数であるとだけすると、符号のことを忘れてはいませんか?
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