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円柱面A:x^2 + y^2 = r^2 … (1)
円柱面B:y^2 + z^2 = r^2 … (2)
この2式の共通部分を求めたいのですが、
(1)をy^2 = r^2 - x^2と変形して、これを(2)に代入すると、
z^2 - x^2 = 0 という式が出来ますが、
てっきり共通部分とy=0の共通部分を表す式かと思ったのですが、
これは z=x かつ z=-x の直線を表していてどう考えても共通部分だとは思えません。
この式は一体何を表すものなのでしょうか?
それと、共通部分を求めるにはどうすればよいのでしょうか?

A 回答 (3件)

円柱面A:x^2 + y^2 = r^2 … (1)


円柱面B:y^2 + z^2 = r^2 … (2)  ⇔  z=x 又は z=-x 、の 平面と 面Aとの交わり

参考URL:http://link.web.nitech.ac.jp/kyozai/edu3D/pillar …
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共通部分の点はその「直線」とやら(実際は平面)


の式を満たすというだけで、その式を満たす点が
全て共通部分だという訳ではありません。
共通部分は、その式が表す図形の一部分です。
式変形の必要性と十分性について、
反省してみてください。
共通部分を y 軸に沿って xz 平面へ射影すると、
その式が表す直線の中に収まるのです。
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(1)と(2)に隠れた条件を掘り起こしてみれば、色々と見えてくるのではないでしょうか。



(1) x^2 + y^2 = r^2
 というのは、rは定数として、xとyの式ではなく、
(1)' x^2 + y^2 + 0・z^2 = r^2
 という、x,y,zの式です。
実はここに -r≦x≦r, -r≦y≦r という暗黙の条件も隠れています。
(2)で同様に-r≦z≦rも出てきます。

(1)と(2)に共通する変数であるyに注目して、
X = ±√(r^2 - y^2)
Y = y
Z = ±√(r^2 - y^2)


{x,y,z} = {±√(r^2 - y^2),y,±√(r^2 - y^2)}  複合任意
-r≦y≦r

というのが、共通部分を示すのではないでしょうか。

y=0の時、x=±r, z=±r
y=±rの時、x=0, z=0
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