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画像の(2)の等式の両辺は等しくないのに、なんで等式が成り立っているんでしょうか?


ご回答宜しくお願い致します。

「極限の考え方です。」の質問画像

A 回答 (3件)

参考書にもかいてるでしょう,「目的地」って.




lim_{x->1} x ってのは
xを1に近づけたときに,xが近づいていく「先」のことを言っているから

lim_{x->1} x = 1

は正しい.


たとえば,lim_{x->1} 1/x にすれば,これは
xを1に近づけたときに,
1/xが近づいていく「先」のことを言っているから

lim_{x->1} 1/x = 1

となる.

なお,No.1は間違ってるから要注意

0.999..... ってのは,つねに厳密に1です(普通の表記法を採用しているのであれば).
数学では工学とかでよくでてくるような
「誤差が小さいから無視して」というのは
NGです.
例外的な扱いをうけるものもありますが,
それらすらも,厳密な(誤差云々がない)正当化がなされています.

>これを別の例を示すと
>
>1÷3=0.33333…
>0.33333…×3=0.99999…≠1
>
>?となりますよね?
>ですが、最初の1にはならず、0.99999となります

なりません.前段で「掛け算と割り算は互いに対」(逆演算のことを示すと推測)
といいながら,割り算の逆が掛け算ではないといっているので自己矛盾でしょう?

そもそも極限の導入に,本質的に極限を使っている
0.3333....の表記を導入すること自体,順序が違います.

繰り返しますが,
極限値というのはあくまでも「近づく先」なのです.
決して,途中経過(近づき方)はみていません.
#細かく言えば,極限値ってのは,近づけ方は何でもいいのです
#そして,近づけ方が自由なので,途中経過も任意性があります.
#逆に近づけ方によってに違う値に近づく場合は,極限値は存在しないというのが
#定義の中に内包されています.

したがって
仮に
「xを1と一致しないように1に近づける」ことを「x->1」としたって,
極限値 lim_{x->1} x は
「xが近づくその到達先」
のことなので,
lim_{x->1} x = 1
です.これは誤差云々が入り込む余地はありません.


厳密なことをいえば,x->1 というのは「xが1ではない」というのは含みません.
これは大学生にでもなって極限の厳密な定義を習えば理解できるでしょう.
もっとも,「xが1ではない」という追加条件をつけても
まあ,同じ理論ができあがるはずので大差はないのですが.
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この回答へのお礼

0.999..... ってのは,つねに厳密に1という考え方は知りませんでした。

ご回答ありがとうござました!

お礼日時:2012/05/03 12:15

limとは、limit(極限)を表します。

また、「極限」とは読んで字のごとく、
「限りなく近づいたときの極(ぎりぎり)のところ」という意味です。
なので、極限は、xがどうしようもないくらいある値に近づいたとき、
xをふくむ関数f(x) (この場合はy=x) がどんな値に近づくか、
ということを表す記号です。
考えてほしいのが、「lim」が「近づく値」に対応していることです。
(「とる値」に対応しているのではないということ)
なのでf(x)が lim(x→1) という記号をつけた瞬間に、「xがきわめて
1に近づいたときのf(x)」というものから、「xがきわめて1に近づいたとき
の、f(x)がきわめて近づいていく値」というように数の表す意味が
かわると考えるといいと思います。

考えてみれば x→1 は x=1 とは一般的になりませんから、
limの記号に(x→1)が含まれていて、右辺が「=1」になるためには、
「f(x)→1」であることが必要だと分かります。

文章がまとまらなくてすみません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうござました!

お礼日時:2012/05/03 12:15

簡単な例を紹介しますと



掛け算と割り算は互いに対になっており

10÷5=2の時
5×2=10になり最初の10と一致します

これを別の例を示すと

1÷3=0.33333…
0.33333…×3=0.99999…≠1

となりますよね?
ですが、最初の1にはならず、0.99999となります

これが極限の考えに近いものがあり
「無限に9が続くのであれば1との誤差は影響の無いレベルしか存在しないので、1として考える」

と言った考えが極限の簡単な考え方です

質問された2は

xを1に限りなく近づけた時1になる

と言う意味で
厳密には1で無いが1として考えると言う事です
(さっきの0.99999…=1として考えると同じ考え方です)

拙ない説明でしたが、大まかな考えはこのような事です

補足に書いていただければわかるまで説明させていただきます
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました!

お礼日時:2012/05/03 12:14

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