lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です）

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか？

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比べる
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt　=lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =　1/2
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2

という風に1/2が答えとして出たのですが、間違っているとこ、足りないところなどありましたらご指摘お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/28 19:43

「これを最初の式と比べる」以降の計算は、

各 lim が収束することを根拠なく仮定している。
もう一度、ロピタルを使えば良かったのに。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。　もう一度ろぴたるでできました。　答えは1/2ですよね？

お礼日時：2012/04/28 21:50

No.4 回答者： ur2c 回答日時： 2012/04/29 22:56

> ほかに微分を使える方法があるのでしょうか？

(d/dx) \int_0^x f(t) dt = f(x) ==> (d/dx) \int_0^x exp(t^2) dt = exp(x^2)

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/29 22:06

1/2

No.1 回答者： ur2c 回答日時： 2012/04/28 16:47

(d/dx) \int_0^x f(t) dt = f(x)

を使えば一発．

この回答へのお礼

微分するにはろぴたるの定理かなと思って、ろぴたるの定理をつかったのですが、ほかに微分を使える方法があるのでしょうか？もしくは、ろぴたるの定理の使い方が下手なのでしょうか？

お礼日時：2012/04/28 23:24