線形代数

行列Aを成分全て正の対称行列としたとき、Aの異なる固有値をλ1、、、λmとすると、（A-λ1I）・・・（A-λmI）=0
になり、さらに、A^mがI,A,,,A^（m-1）の一次結合で表されるのはなぜですか？

No.7 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2012/04/30 10:16

(x-a)(x-b)などの展開は出来ますよね？m項になっても話は同じです。

展開したときにA^mの項以外はAの次数は高々(m-1)ですね。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/29 15:05

やり方はいくらでもあるし、どれで行くにしても、

イチから詳細に説明したら、教科書一冊分になるしね。
ボイントだけ書かざるを得ないのだけれど、
この問題のボイントは、重根である固有の処理
なのだと思う。そうでなければ、
「ケイリー・ハミルトン」の一語で終わってしまうし、
A を実対称にした意味もない。

No.5 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2012/04/29 00:30

>No4さん

あ、そっちですか？それは・・・対角化に関しては行列論によってもいいし、あるいは関数解析の一般論に従うのもいいですし、いずれにせよこの問題はそれを応用するという立場で作れらていて、対角化の事実はこの問題とは独立して議論出来る以上特に一般論の説明は要らないでしょう。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/28 23:46

何だ「既知」で済ましちゃうのか。

最小多項式の因子の次数は、その固有値に対する
最大次数のジョルダン胞のサイズだから、
A が対角化可能であれば… くらいの説明は
付けとくと親切な気がする。

No.3 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2012/04/28 23:29

説明不足だったかもしれませんので補足を。

各x_iの和で表したものはすなわち「対角化による各固有空間からの基底表現」です。
もちろん各固有空間は1次元とは限りませんからAのサイズとmは一致しているとは限りません。
自己共役コンパクト作用素の一般論を知っているならばスペクトル分解と言った方が早いですね。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/28 22:07

←A No.1

A は、各成分が正でなくとも、実対称であればよい…ことには、賛成。
m が A の次数より小さくてもよい…ことにも注目しよう。
x_i は λ_i の一般固有ベクトルだとして、それが固有ベクトルと言える
理由は何か。
ジョルダン標準形と最小多項式の関係を考えれば、それが解る。

No.1 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2012/04/28 21:03

固有値展開(対角化)を利用すればよいです。

具体的には実対称行列の固有値によって空間が直和分解されますから任意にベクトルxとってきたときにx=x_1+...+x_mと出来ます。ここで各x_iは固有値λ_mに対する固有ベクトル。後は、A-λ_1I,...,A-λ_mIが互いに可換であることに注意して（A-λ1I）・・・（A-λmI）をxに作用させてみましょう。普通に対角化した後直接行列を計算しても同じことです。

後半は得られた等式をA^m=...の形するだけです。

この回答への補足

ありがとうございます。最後のA^mの所の展開ができなかったんですが、どうやればいいですか？

補足日時：2012/04/29 22:25