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最初にいっときますが、含まれるの数学記号をパソコンでの打ち方が分からなかったので"含まれる"という言い方で書いてます
読みにくいと思いますが、申し訳ありません

(問題)
(X,B,μ)は測度空間でAはBに含まれるとする。
f,gはΜ(A)含まれるに対して、f = g  μ-a.e.Aのとき、f~gと書くとき"~"は同値関係を、満たす事を示せ。



(自分の解答)
[1] f~g => g~f を示す
f~gを仮定する。仮定からμ(N1) = 0 となるBに含まれるN1が存在しA -N1にxが含まれるならばf(x) = g(x)が成立する
ここで、f(x) = g(x) は、g(x) = f(x)とも書けるのでg ~ fも明らかに成立する

[2]f ~ g,g ~ h => f ~ h を示す
f ~ g,g ~ hを仮定する。仮定からμ(N2) = μ(N3) = 0 となるBに含まれるN2,N3が存在してA -N2にxが含まれるならばf(x) = g(x) およびA-N3にxが含まれるならばg(x) = h(x)
ここで、N =N1 または N2とすればBにNが含まれ、μ(N) = 0でA - Nにxが含まれるならばf(x) = g(x) = h(x)が成立する
よって、f ~ hが成立する。


ここまで間違っているところ、おかしいところを指摘ください。
また、f ~ fの示し方がどうも分かりません。
明らかという解答でない解答が欲しいです。

読みにくいと思いますがお願いします。

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A 回答 (3件)

>Bは、集合体


>Aは、A∈B
>
>書いてる問題文通り書いたのですが…
>
>またN1などは、
>自分自身で置いた文字なのですが、おかしいでしょうか?

おう・・・見逃してた

>(X,B,μ)は測度空間で

節穴だった,申し訳ない.
ただ・・・M(A)はわからない(A上の可測関数の集合?).

>ここで、N =N1 または N2とすればBにNが含まれ、μ(N) = 0でA - Nにxが含まれるならばf(x) = g(x) = h(x)が成立する

ここ,誤解を招く・・というか誤解した
N=N1またはN2とすれば・・・って,N=N1またはN=N2って読める・・・

記号がかけないならN=(N1またはN2)のように書くとか工夫が必要だけど
そもそも記号で書かなければいい
なんでも記号にすると分かりにくいこともある
このばあい

「NをN1とN2の和集合とすれば」とでも書けばいい

証明そのものは論理的にはあってるけど
もうちょっと整理したほうがいいように思う.
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>ちなみに,反射に関しても



まちがった,「対称」だった.
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あなたが使ってる記号の意味が


まるで分からない・・
N1って何?
Bって何?
Aって何?
M(A)って何?

「xがAの要素である」を記号で表せないなら
(x∈Aってかけるけどねー)
そのまま言葉で書けばいいわけで
そんなことよりも,AとかM(A)とかの意味のほうが大事でしょう

要するに,ある測度に対してalmost everywhereで等しいという関係が
同値であることを示せばいいわけで

fとfは,「すべての点で等しい」のだから
等しくない点の集合は空集合なんだから
とうぜん,空集合の測度は0で
空集合の点以外の点でf=f,つまり f(x)=f(x) a.e.
ようするに「定義より明らか」

ちなみに,反射に関しても
測度0の集合の外で f=g なんだから g=f でよってf(x)=g(x) a.e.

推移に関しても
f(x)=g(x)とならない集合をA(測度0)
g(x)=h(x)とならない集合をB(測度0)
とおけば,A∪Bの外では f(x)=g(x)=h(x)
A∪Bの測度は0
だから f=h a.e.

本質的にはこんな感じになるんじゃないかな.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

Bは、集合体
Aは、A∈B

書いてる問題文通り書いたのですが…

またN1などは、
自分自身で置いた文字なのですが、おかしいでしょうか?

何度も申し訳ありません。

お礼日時:2012/04/29 21:54

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