出産前後の痔にはご注意!

x+y+z=5、3x+y-15を満たす任意のx、y、zに対して常にax²+by²+cz²=5²が成り立っている時定数a、b、cを求めよ。

このときの、途中まではわかりますが


x+y+z=5・・・・・・(1)
3x+y-z=-15・・・(2)
(1)+(2)
4x+2y=-10
y=-2x-5・・・・(3)
(3)を(1)に代入
x-2x-5+z=5
z=x+10・・・・・(4)

ax^2+by^2+cz^2=5^2
(3)、(4)を代入する
ax^2+b(-2x-5)^2+c(x+10)^2=5^2
ax^2+b(4x^2+20x+25)+c(x^2+20x+100)-25=0
(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25b+100c-25=0

ここまで、

このときに、解説には
a+4b+c=0
a+3b=0
4a+9b-1=0

としているのですが
なぜ0なんですか。何と係数比較しているんですか

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A 回答 (4件)

蛇足。



何と比較して?

うんこれは簡単。

>(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25b+100c-25=0


この式の右辺を こう考えて?

(右辺)= 0×x^2 + 0×x + 0 =0

この係数と比較していると考えればいいんですよ

ヾ(@⌒ー⌒@)ノ

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
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nonstylelove さん、こんにちわ。



結論から言いますと、ax^2 + by^2 + cz^2 = 0を、nonstyleloveさんのように、
aとbとcとx との式ではなく、aとbとcとz との式に変換すると登場します。

詳しい計算過程は省きますが、式(1)と(2)を用いて
 y=-2z+15
 x=z-10
を導けば、ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 は

(a+4b+c)z^2 - 20(a+3b)z + 25(4a+9b-1) = 0

となります。zの値に関わらず上の式が成り立つ条件は、z^0、z^1、z^2の係数が全て0、すなわち

 a+4b+c=0
 a+3b=0
 4a+9b-1=0

となりますね。


では、nonstyleloveさんの計算が誤っているかというと、そうではありません。
nonstyleloveさんの途中まで求めた式からは

 a+4b+c=0
 b+c=0
 b+4c-1=0

が得られると思いますが、いずれの連立方程式を解いても

 (a,b,c) = (1,-1/3,1/3)

となります。ご安心くださいね。



ちなみに、
 a+4b+c=0
 a+3b=0
 4a+9b-1=0
という解説を見たときに、「a」や「b」が3式とも登場するのに対して、「c」が登場する式が1つしかないことに着目すれば、
「ああ、cは、2乗の係数のみにしか登場しないのだな」
と想像が付き、そこから、xやyをzに置き換えているのだなと想像が付きます。
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>(a+4b+c)x^2+20(b+c)x+25b+100c-25=0



右辺は0で固定ですよね。このとき、xがどんな値であっても、左辺も同様に0になるには、
xの2次の項の係数も
xの1次の項の係数も
定数項も
すべて0でなければならない、という考え方については理解できますか?
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そりゃ,


x^2, x^1, x^0 の係数が全て 0 です.
途中で計算間違っているか,
解説が正しくないかのどちらかです.

この回答への補足

何と係数比較をしてx^2, x^1, x^0 の係数が全て 0とわかるんでしょうか

補足日時:2012/04/29 15:40
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