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わかる方、一つでもいいので教えてください!

次の式を微分

1) (1/2)[x√(9-x^2)+9Arcsin(x/3)]

2) Arcsin(x+1)/2

3) Arctan(x/√3)

4) Arctan√(x/3)

A 回答 (3件)

逆関数の微分法が分れば求める事が出来ます。


先ず、 "逆関数 微分法" 等とサーチして調べる事から始めて下さい。

積関数の微分は勿論理解されていると思いますが、まだでしたら
"積関数 微分" 等として調べて下さい。

苦労して調べて解いてみないと身につかないと思いますので、後は自分でやってみて下さい。
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1)


xの実数条件から
 9-x^2≧0 かつ -1≦x/3≦1 ∴-3≦x≦3 ...(☆)ですね。
このxに対して
{(1/2)x(9-x^2)^(1/2)}'
=(1/2)(9-x^2)^(1/2) +(1/2)x(1/2)(-2x)(9-x^2)^(-1/2)
=(1/2)(9-x^2)^(1/2) -(1/2)(x^2)(9-x^2)^(-1/2)
=(1/2){(9-x^2)-x^2}/√(9-x^2)
=(1/2)(9-2x^2)/√(9-x^2) ...(□)

一方 {(9/2)Arcsin(x/3)}' の方は
y=Arcsin(x/3) ((☆)より -π/2≦y≦π/2)とおくと
 sin(y)=x/3 ...(◆)
cos(y)≧0 より
 cos(y)=√{1-sin^2(y)}=√{1-(x/3)^2}=(1/3)√(9-x^2) ...(▲)
(◆)をxで微分して cos(y)y'=1/3
 y'=(1/3)/cos(y)
(▲)を代入して y'=1/√(9-x^2)
なので
 {(9/2)Arcsin(x/3)}'=(9/2)y'=(9/2)/√(9-x^2) ...(■)

(□)と(■)で、√(9-x^2)が分母にあるので 微分係数のxの範囲は
 -3<x<3 ...(●)
となります。

(□)と(■)より
(1/2)[x√(9-x^2)+9Arcsin(x/3)]
=(1/2){(9-x^2)-x^2}/√(9-x^2) +(9/2)/√(9-x^2)
=(1/2)(9-2(x^2)+9)/√(9-x^2)
=(9-x^2)/√(9-x^2)
=√(9-x^2)
ただし、 -3<x<3

2)
Arcsinの定義域から
 -1≦(x+1)/2≦1 ∴-3≦x≦1 ...(◎)
y=Arcsin((x+1)/2) (-π/2≦y≦π/2 ...(●1))とおくと
 sin(y)=(x+1)/2
xで微分すると
 cos(y)y'=1/2 ∴y'=1/(2cos(y))
(●1)の下でcos(y)は分母にあるので
 cos(y)>0 (-π/2<y<π/2...(●2))
 cos(y)=√{1-sin^2(y)}=√{1-((x+1)/2)^2}=(1/2)√{(x+3)(1-x)}
なので
 y'={Arcsin((x+1)/2)}'=1/√{(x+3)(1-x)}
ただし、-3≦x≦1

3)
y=Arctan(x/√3) (-∞<x<∞、-π/2<y<π/2) とおくと
tan(y)=x/√3
xで微分して
y'/cos^2(y)=1/√3
y'=(1/√3)cos^2(y)=(1/√3)/{1+tan^2(y)}
 =(1/√3)/{1+(1/3)(x^2)}=√3/(3+x^2) (-∞<x<∞)

4)
y=Arctan(√(x/3)) (x≧0, 0≦y<π/2)とおくと
 tan(y)=√(x/3)=(x^(1/2))/√3
xで微分すると x>0として
 y'/cos^2(y)=(1/√3)(1/2)x^(-1/2)
 y'{1+tan^2(y)}={1/(2√3)}x^(-1/2)
 y'{1+(x/3)}={1/(2√3)}/√x
 ∴y'=(√3/2)/{(x+3)√x} (x>0)
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お言葉に甘えて1つだけ。

2)はどこまでがsinの引数なのかな?

1) (1/2){√(9-x^2) +x(-x/√(9-x^2) )+9(1/√(1-(x^2/9)))(1/3)}
=(1/2){√(9-x^2) -(x^2/√(9-x^2))+(9/√(9-x^2))}
=(1/2){√(9-x^2) +√(9-x^2)}=√(9-x^2)

この回答への補足

回答ありがとうございます!
(2)はArcsin[(x+1)/2]です。
ご指摘ありがとうございます。

補足日時:2012/04/30 20:03
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