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直交変換の証明

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  • 質問者：mezasedaiken
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

直交行列Ａの表す直交変換をfとして、ベクトルp,qのfによる像をそれぞれ
p',q'としたとき
p'・q'=p・q
と
pとqのなす角とp'とq'のなす角を等しいことを証明したいのですが・・。
うまく左辺と右辺の関係を式に出来ずに進めません。
どう証明していけばいいのでしょうか？
よろしくお願いします！

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： keyguy
  • 回答日時：

^*は転置(直交行列をユニタリ行列おきかえると共役転置)



p'=A・pかつq'=A・qであるから
(p',q')=(A・p,A・q)=(A・p)^*・(A・q)=p^*・A^*・A・q=p^*・(A^*・A)・q=p^*・q=(p,q)
ここでAは直交行列だからA^*・A=E(定義)であることを使った。
なお
pとqのなす角の余弦は(p,q)/√((p,p)・(q,q))
p'とq'のなす角の余弦は(p',q')/√((p',p')・(q',q'))
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Q直交変換はノルムを保つ

教科書に

「線型変換 f について、f が直交変換であるための必要十分条件は f がノルムを保つことである」

という定理が載っているのですが、どうも理解できません。

教科書には簡単な証明が載っており、

「f が直交変換ならば、明らかに f はノルム(長さ)を保っている」と記載されています。

直交変換とは内積も保つような線型変換のことですよね？

内積を保つ = ノルム(長さ)を保つ ということが明らかとなる説明をどなたかお願いします。

私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

＞教科書には簡単な証明が載っており、

証明が載ってるならそれで問題ないんだけど・・・

＞私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。

内積を保つということは，なす角も保つんです．
ここでポイントなのは
「任意の異なるベクトルに対して内積を保つ」という
「任意性」です．

二つのベクトルをv,wがあれば，そ
の方向の単位ベクトルe1=v/|v|, e2=w/|w|の
内積はなす角θのcos(θ)，つまりなす角そのものであり
内積が保たれることは，すなわちなす角の保存
＃これは矢印ベクトルに限らず一般のベクトルでOKなのは
＃シュワルツの不等式（だっけ？）でOKでしょう

fが直交変換であることの定義は (f(v),f(w)) = (v,w)
vのノルムの定義は |v|^2 = (v,v)
だから
|f(v)|^2 = (f(v),f(v))=(v,v)=|v|^2
逆に，任意のxに対して（ここ重要．xは任意）
|f(x)|=|x|であるようなfに対しては
2(v,w)=|v+w|^2-|v|^2-w|^2
より
2(f(v),f(w))=|f(v)+f(w)|^2 - |f(v)|^2 - |f(w)|^2
=|f(v+w)|^2- |f(v)|^2 - |f(w)|^2 (fの線型性を利用)
=|v+w|^2-|v|^2-w|^2
=2(v,w)

たぶん「証明」もこんな感じでしょう．

＞教科書には簡単な証明が載っており、

証明が載ってるならそれで問題ないんだけど・・・

＞私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。

内積を保つということは，なす角も保つんです．
ここでポイントなのは
「任意の異なるベクトルに対して内積を保つ」という
「任意性」です．

二つのベクトルをv,wがあれば，そ
の方向の単位ベクトルe1=v/|v|, e2=w/|w|の
内積はなす角θのcos(θ)，つまりなす角そのものであり
内積が保たれることは，すなわちなす角...続きを読む

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