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半径3の円に内接する三角形ABCがあり、AB=5,AC=2とする。
このとき辺BCの長さを求める。


図で書くと2通りのパターンが表されるのがわかるのですが、いずれの場合もLBは鋭角ということがわかりません。
それから、どうやってBCを求めるのでしょうか?
お願いします

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A 回答 (3件)

>いずれの場合もLBは鋭角より


>cosB>0の意味がわかりません。

△ABCにおいて、a=BC,b=CA,c=AB とします。
(大文字A~Cは頂点、小文字a~cは辺です)
∠A(∠BAC)とa,∠B(∠ABC)とb,∠C(∠BCA)とc
を対応づけます。このとき、最も長い辺に対応する角が最も大きくなります。
(ちなみに、角A~Cに対し辺a~cをその角の対辺と言います。)

鋭角というのは90°未満の角度を指し、90°より大きい角を鈍角といいます。
三角形の内角の和は180°なので、1つの三角形には鈍角はあっても1つしかありえません。
(もし、2つあるとするとその2つだけで和が180を超えてしまいます。)
そして、鈍角があればそれがこの三角形の3つの角の中で最大のものになります。(鈍角以外の2つの角の和は90°未満であり、当然それぞれの角も90°未満なので、鈍角が最大になるのは当たり前ですね。)

ここで、∠Bに対する辺は、b=CA=AC=2であり、AB=5なので、bが最長になることはありません。
従って、∠Bも最大角であることはありません。
最大角でない⇒鈍角にはなり得ない⇒鋭角である、ということです。

鋭角、つまり、0<∠B<90 のときは 必ずcosB>0となります。(cosの定義を考えれば分かるでしょう。)


BCの求め方は、大筋#1の方のアドバイスどおりですが、sinAでなく、sinBを求める方がいいでしょう。
円に内接する三角形 ⇒三角形側からみると、その円は外接円になりますね。
正弦定理から
b/sinB = 2/sinB = 2*3 ∴sinB = 2/6 = 1/3
(sinB)^2+(cosB)^2 = 1 より
(cosB)^2 = 1-(1/3)^2 =8/9
ここで cosB >0 が使えて cosB = (2√2)/3
あとは余弦定理
b^2 = c^2+a^2 -2ca*cosB
に b=AC=2, c=AB=5, cosB=(2√2)/3 を代入して
a(=BC)を求めるだけです。
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円の中心をOとします。



以下、Oが△ABC内に含まれるときの場合について
方針をかきます。
cos∠OAB=5/6
cos∠OAC=1/3

中心角は円周角の2倍なので
∠BOC=2∠BAC=2∠OAB+2∠OAC

△BOCは二等辺三角形より
BO=CO=3がわかっており
∠BOCがわかっているので
BCが求まる。

この回答への補足

ありがとうございます。
いずれの場合もLBは鋭角より
cosB>0の意味がわかりません。
もし由来がわかるのならおしえていただけないでしょうか?

補足日時:2004/01/09 07:36
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角Bに対する辺はACで、これは最大辺ではありません。


鈍角はあるとしても三角形にひとつしかなく、これに対する辺は最大です。

正弦定理でsinAを求め、これからcosAを計算し
余弦定理でBCを求めます。
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