(基礎の基礎)テンソル積についてご教授ください。

はじめてテンソルを学ぶので基礎の基礎と思われます。以下、もし文字化けしている文字があるとすれば、それは○の中に×印(警察署の地図記号みたいな)です。テンソル積の記号です。

テキストで

「ベクトルa,b,u,vに対し、u,vを変数とし実数値をとる関数a⊗bをaとu、bとvの内積を用いてつぎのように定義する：a⊗b(u,v)＝(a・u)(b・v)　…」

ここは理解できます。すなわち関数a⊗bはベクトルu,vを引数(ベクトルでも引数というのかわかりませんが)にとって、上式で定義される計算をするとスカラー積どうしの掛け算なので確かに実数値を返します。

「…この式は、変数u,vに対しそれぞれ線形関係が成り立つから、a⊗bは双線形形式である。この双線形形式a⊗bをaとbのテンソル積という。…」

これもわかります。a⊗b(u+U,v)＝(a・(u+U))(b・v)=(a・u+a・U)(b・v)=(a・u)(b・v)+(a・U)(b・v)=a⊗b(u,v)＋a⊗b(U,v)など調べていけば確かに双線形形式の定義を満たすからです。そしてこれをaとbのテンソル積という、というのも定義ですからそう受け入れざるを得ません。

問題は次からです。(以下、総和規約を用いてます。i,jは下付き添え字です)

「…a⊗b=(aiei)⊗(bjej)=aibjei⊗ejであるから，a⊗bの成分は行列を用いて

a⊗b＝(aibj)
＝
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3
a3b1 a3b2 a3b3

と書ける。…」

これは多分、行列の(i,j)成分が基底ei⊗ejの成分を表していると思うのですが、あっていますでしょうか。

最大の問題は次の点。
a⊗bがこのように書けることとa⊗b(u,v)の計算とはどういう関係があるのでしょうか。計算ならこんなことしなくても定義a⊗b(u,v)＝(a・u)(b・v)に従えば計算できると思うのですが。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2012/05/06 14:49

補足について。

第１項の誤植と思われる間違いを除けばそのような理解で問題ありません。
a,bについても線形ですので。

この回答へのお礼

質問としては，a⊗bが行列で書けたとして，a⊗b(u,v)が(行列)(u,v)となり，行列が関数で(u,v)が変数？，どうやって計算するの？という意味でしたが，行列で書いているのはあくまでa⊗bの各基底ei⊗ej(i,j＝1,2,3)の(ベクトルみたいに)成分を並べたものだということですね。

計算としては

a⊗b(u,v)=a1b1e1⊗e1(u,v)+a1b2e1⊗e2(u,v)+a1b3e1⊗e3(u,v)+a2b1e2⊗e1(u,v)+a2b2e2⊗e2(u,v)+a2b3e2⊗e3(u,v)+a3b1e3⊗e1(u,v)+a3b2e3⊗e2(u,v)+a3b3e3⊗e3(u,v)

でa1b1e1⊗e1(u,v)=a1b1u1v1のように計算して和をとっていくと結果の実数値が得られるんですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/06 17:56

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2012/05/06 02:48

一つ目はそれでいいです。

二つ目に関しては人によって違う解釈を持ちそうですから、参考程度に。
(a・u)(b・v)の計算をするための方法というよりは、これはテンソル積という量を(忠実に)表現する方法を与えているだけでしょう。テンソル積ではなく線形代数でもそうですが、こうやって数値で表現する方法がないと具体的に計算したい時(２つの元が等しいかどうか知りたい、和を計算したいなど)に困ってしまうんですよ。

表現するだけなら、9成分のベクトル(と同じ表現)でも問題ないはずなのに、どうして行列で表現するのかという趣旨の質問であれば、行列で表現しておくと
(a,u)(b,v) = u^t A v
を満たすような行列Aの事を指している事になるから、という事でしょう。

この回答への補足

もしかして

a⊗b=(aiei)⊗(bjej)=aibjei⊗ej

は総和規約より

a⊗b=(aiei)⊗(bjej)=aibjei⊗ej=a1b1e1⊗e2+a1b2e1⊗e2+a1b3e1⊗e3+a2b1e2⊗e1+a2b2e2⊗e2+a2b3e2⊗e3+a3b1e3⊗e1+a3b2e3⊗e2+a3b3e3⊗e3

であり，

a⊗b(u,v)というのは

a⊗b(u,v)=a1b1e1⊗e2(u,v)+a1b2e1⊗e2(u,v)+a1b3e1⊗e3(u,v)+a2b1e2⊗e1(u,v)+a2b2e2⊗e2(u,v)+a2b3e2⊗e3(u,v)+a3b1e3⊗e1(u,v)+a3b2e3⊗e2(u,v)+a3b3e3⊗e3(u,v)

ということでしょうか。例えば，1項目なら

a1b1e1⊗e2(u,v)=a1b1u1v2

という感じでしょうか。

補足日時：2012/05/06 03:51