復元抽出のくじ（確率・期待値）

解決済

質問者：kanimaruz
質問日時：2012/05/08 09:20
回答数：3件

あるゲームにおける期待値、予想される費用を求めたいのですがうまく計算できません。
求め方や解をご教示下さい。

5つの目を持つルーレットがあるとします。
そのうち1つだけが当たり残りは外れで、当たりがでるとプレゼントが貰えます。
挑戦するためには1回100円かかります。

これを当たりが出るまで挑戦し続けます。

この時、プレゼント1つを獲得するためにかかる金額は平均といいますか、幾ら収束していくのでしょうか？

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回答 (3件)

No.3

回答者： yyssaa
回答日時：2012/05/09 07:37

＃1さんの回答の通り、当たる確率が分からないので

計算できませんが、質問に「５つの目を持つルーレットが
あるとします。そのうち１つだけが当たり残りは外れ・・・」
と書かれているので、ここでは仮に「１回の挑戦で当たる
確率は1/5」としてみましょう。そうすると１回１００円
ですから５００円かければ平均１回は当たると考えられる
ので、質問の費用の期待値は５００円になると思います。
以下、計算してみます。
1回目から(n-1)回目まで外れ続けてn回目に当たる確率
をP(n)とすると、P(n)={(4/5)^(n-1)}*(1/5)。
n回目の挑戦までにかかる費用は100n円。
従って、求める費用の期待値Xは、
X=∑[n=1→∞](100n){(4/5)^(n-1)}*(1/5)
=20*∑[n=1→∞]n(4/5)^(n-1)
=20*lim(n→∞)∑[k=1→n]k(4/5)^(k-1)
=20*{1/(1-4/5)^2}=20*25=500となり、
答えは５００円となりました。