課題で解けない問題があり困っています。

途中計算も含めて教えてください。

以下の振り子の方程式の解はどのように与えられるか。

d2θ/dt2 = -mghθ/l

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/08 23:04

その方程式は、K = mgh/l と置くと

(d/dt)^2 θ = -Kθ ですね。
両辺に (d/dt)θ を掛けて t で積分すると、
(1/2)(dθ/dt)^2 = C - K(1/2)θ^2
となります。C は積分定数です。
この式は、変数分離形なので、
dθ/√(2C - Kθ^2) = dt と変形して
積分することができます。
sin の定義 sin^-1 y = ∫[0からyまで]dz/√(1-z^2)
を知っていれば、
φ = {√(K/(2C))}θ, u = {√K}t と置換することで
sin に帰着させることができます。

この回答へのお礼

助かりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/10 21:33

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2012/05/08 22:40

mgh/l=k^2とおくと

d2θ/dt2 = -mghθ/l=-k^2θ　　　　　(1)

この2階常微分方程式を満たす解は

θ=Asin(kt+α)　　　　　　　　　　　　(2)

で与えられる。この辺の話を理解するには微分方程式を勉強する必要があります。もし質問者が興味があれば、適当な本またはサイト等を見つけて勉強してください。ここでは(2)が(1)を満たすことを確認して良しとしましょう。

(2)はいわゆる単振動の式で

k=√mgh/l=2πf

T=1/f=2π√l/mgh

は周期(振り子が往復するのに要する時間）です。

m,g,h,lの意味を確認しておいてください。

この回答へのお礼

助かりました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/10 21:33

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/08 22:22

d2θ/dt2 +(mgh/l)θ=0

特性方程式
s^2+ (mgh/l)=0
s=±i√(mgh/l)
θ=c1*sin{√(mgh/l)t}+c2*cos{√(mgh/l)t}

ただし、c1,c2は初期条件より決まる定数。

この回答へのお礼

助かりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/10 21:31