N個の１次元調和振動子の系の構造関数の変数変換

　N個の１次元調和振動子のハミルトニアンHは

H＝Σ〔i=1～N〕｛p〔i〕^2／2m＋m(ω^2)(q〔i〕^2)／2｝

の時、系の構造関数が次式の形に書き表されることを示そうと思っています。

Ω（E）＝∫(d^N)q(d^N)pδ(E-H)
　　　＝｛(2mE)^(N／2)／E｝［2E／｛m(ω)^2｝］∫(d^2N)zδ｛１－Σ〔i=1～2N〕(z〔i〕^2)｝

ですが、

　変数変換：（i＝1,・・・,N）
z〔i〕＝p〔i〕^2／｛(2mE)^(1/2)｝、
z〔i+1〕＝q〔i〕／［｛m(ω)^2／2mE｝^(1/2)］

を何処かで用いるとしか分かりません。
　誠に恐縮ですがどなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

No.1 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/10 03:34

まず、ご質問の式を

Ω（E）=∫(d^N)q(d^N)pδ(E-H)
　　　=｛(2mE)^(N／2)／E｝(2E/mω^2)^(N／2)
　　×∫(d^2N)zδ｛１－Σ〔i=1～2N〕(z〔i〕^2)｝

z〔i〕＝p〔i〕／(2mE)^(1/2)、
z〔i+N〕＝q〔i〕／(2E/mω^2)^(1/2)

と直す必要があると思います。すると

Ω（E) =｛(2mE)^(N／2)｝(2E/mω^2)^(N／2)
　　×∫(d^2N)zδ{E(１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2)｝

次にaを定数としたとき
　δ(az) = δ(z)/|a|
という公式より
Ω（E) =｛(2mE)^(N／2)／E｝(2E/mω^2)^(N／2)
　　×∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝

この回答への補足

　御回答どうもありがとう御座います。回答を拝見させて頂いての質問がありますので、御覧になって下さい。

＞ご質問の式を～と直す必要があると思います。

　式を直す際に何故『z〔i+1〕』→『z〔i+N〕』とする必要があるのですか？

　誠に恐縮ですが、御回答を宜しく御願い致します。

補足日時：2004/01/10 18:22

この回答へのお礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

お礼日時：2004/01/15 23:09

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/10 22:56

z〔i〕＝p〔i〕 …

z〔i+1〕＝q〔i〕…
とすると例えばz[2]については

z〔2〕＝p〔2〕 …
z〔2〕＝q〔1〕…

という二つの式があり、z[2]がどちらで定義されているのか分からなくなるからです。zの番号の付け方は必ずしも私が書いたものにする必要はありませんが、p, qとzは一対一に対応させる必要がああります。

この回答への補足

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

補足日時：2004/01/15 23:10