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25種類の中からランダムに1枚入ってるお菓子のおまけカードがあります。(入ってるカードは当たりにくいカードとかあるかもしれませんが同じ確率とします)
この25種類のカードをを80パーセント以上の確率で全部揃うには
何個以上買ったらいいですか?
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

x個購入したという条件のもとで、y種類そろっている確率をP(y|x)と表記することにします。



P(y|x) = P(y|x-1)*y/25 + P(y-1|x-1)*(25-(y-1))/25
初期値は、P(1|1)=1, P(y|1)=0(y≠1)。
また便宜的に(実質的にも)P(0|x)=0。

求めるのは、P(25|x)≧0.8となる最小のxと読みました。

漸化式を解くのをExcelさんにお任せして、117個以上となりました。

ちなみに、揃うまで購入するときの平均購入数は、25*(1/1+1/2+…+1/25)=95.4個です。96個以内で全種類揃う確率は59%程度です。まぁこんなもんかなぁという感じ。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=287408
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 おはようございます。



 習ったのがずっと昔なので自信ないですが,

 (24+23+23+ …… +3+2+1)×0.8=240

 という事で,240個以上では無いでしょうか。
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Qコンプリートするには平均して何個買えばいい?

ふと思いついただけの問題なのでわかる人にはつまらない問題かもしれませんが… (その2)

あるジュースのおまけにサーカー選手のフィギュアがつくことになりました。
おまけは全部でn種類ありますが、買ってくるまで何が入っているかはわかりません。
また、フィギュアの出現確率はどれも同じです。

さて、このジュースを1本1本買ってきて、全種類コンプリートを目指します試みを
みんなで行うわけです。運がよければ最低20本買えばコンプリートできますが、
平均すると、何本買わないとコンプリートできないでしょうか。

Aベストアンサー

まず、k個持っている状態から新しい1個手に入れるのに
何本買わないといけないかの期待値を求めます。

x回で新しいものが手に入る確率は
 (k/n)^(x-1)*(n-k)/n
なので、期待値 E_k は
 E_k = (n-k)/n*Σx(k/n)^(x-1)      (Σは 1≦x<∞ の範囲での和)
   = (n-k)/n*{1-(k/n)}^(-2)
   = n/(n-k)
となります。

したがって、全部そろうまでに買わなければならない個数の期待値は
 ΣE_k = nΣ(n-k)^(-1)   (0≦k≦n-1)
    = nΣ(1/k)      (1≦k≦n に逆から番号付け替え)
となります。
具体的には、n=20 のとき
 20*(1 + 1/2 + … + 1/20) = 71.95
と kony0 さんの結果と一致しました。

Qカードが全種類揃う確率

あるゲームのことで気になったので、
シミュレートしたり考えたりしてみたのですが・・・

20種類のカードがランダムに出現します。
同じカードは何枚でも出てきます。
そのカードをすべて受け取って、20種類全部揃うのは、
何枚受け取った時点でどのくらいの確率になるのか?

という問題です。

プログラムを作ってシミュレートしてみると、
おおよそ68枚目で50%、105枚目で90%・・・という結果が出たのですが・・・

数式で考えると、さっぱりわかりません。
20枚目で全種類揃う確率は、
20/20 × 19/20 × 18/20 × ・・・・ = 20!/(20^20)
というくらいは、なんとかわかった(と思う)のですが・・・

21枚目以降で全種類揃う確率は、どういう数式になるでしょうか?

Aベストアンサー

クーポンコレクター問題

n種類のクーポンをx枚買ったときはじめてn種類そろってコンプリートになる確率は、

n!S(x-1,n-1)/n^x

ただし、S(x-1,n-1)は第二種スターリング数

Q食玩をコンプリートするために必要な数量の確立

たとえば6種理の人形のどれかがはいっているお菓子を買うとして、6個すべて集めるためには何個買う必要があるのでしょうか。
コンプリートの確率(X)を人形の種類(A、この場合6)、買ったお菓子の個数(B)で表したいのですが。
B<Aでは確率はゼロ、

最終的には、50%の確率でコンプリートできるためには何個買う必要があるかが知りたいです。
 
A=6の場合だけでも結構ですので教えてください。

Aベストアンサー

エクセルを用いた計算(の一例)ですが
A1のセルにAの値(この場合6)、
C1,D1,E1,... のセルに0,1,2,...,A、
B2,B3,B4,... のセルに0,1,2,.....
をまずいれます。
(0,1,2,.. にはオートフィルを利用)

あとは、C2,C3,...,D2,D3,..,というところ
(ここの値がP(B,C)になる)ですが、
C2: 1, C3,C4,...: 0, D2,E2,...: 0 として
おいて(初期条件)、D3のセルに数式を利用して
=($A$1-D$1+1)/$A$1*C2+D$1/$A$1*D2

あとはこのセルをコピーすればOKです。


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