複素数の範囲で、i を虚数単位とすると
i^2=-1
であるので、書き換えると
(√-1)・(√-1)=-1
という等式になると思います。しかしここで、
(-1)・(-1)=1
という等式が成り立つのであれば、
与式=√{(-1)・(-1)}=√1=1
ということになってしまい、なんだか矛盾します。
これがなぜなのかを、友達に分かりやすく教えたいのですが、
そもそも私自身なぜなのかが分からないので、皆さんに教えていただければと思います。
できるだけ分かりやすく答えていただけると嬉しいです。
回答よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
これよく間違えるんだ。元代数学の非常勤ね~。
前にもこれ使って間違っていた人がいたなぁ~。
う~んと、なんていう定理だったか・・・。なんかあるよ。
もう少し簡単に行くと、
ルートの中に勝手に入れてはいけない! ってこと。
>(√-1)・(√-1)=-1
この式は、
>√{(-1)・(-1)}=√1=1
こうはならないんです。
簡単に行こう。
与式は (-1)^(1/2) × (-1)^(1/2)
#(-1)の (1/2)乗ね。
=(-1)^{(1/2)+(1/2)}=(-1)^1
もしくは
=(-1)^{(1/2)×2}=(-1)^1
とやるところ。
累乗の計算は勝手に中入れちゃダメ!ってことです。
(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
No.17
- 回答日時:
#16です。
次の問題を解け。
X^2-5X+6=0
とあるとき、
(X-2)(X-3)=0
とやり、
X=3、2
とやるであろう。
このとき注意すべきはX=3か2であって
X=3と2は同時に成り立たない。
ここを間違う慌てものが過去の回答者にも見受けられる。
”Xが2の時、Xは3ではない。”
”Xは2なのだ。”
同じく
”Xが3の時、Xは2ではない。”
”Xは3なのだ。”
つまりは
#16においてA系列とB系列は同時に成り立たない
どちらか一方なのだ。
また同じ系列の中でもどれか一つであって
決して同時に2個とか3個とか、複数個とか成り立たない。
ここのところをはっきりさせていないと
本問題で誤りを犯すことになる。
No.16
- 回答日時:
#15です。
一般的に
1=1・1=1^2・・・・・・(A-1)
1=1・1・1=1^3・・・・・(A-2)
・
・
・
1=1・1・1・・・・1=1^n・・・・(A-n)
が成り立つ。
また
1=(-1)・(-1)=(-1)^2・・・・・(B-1)
1=(-1)^4・・・・・・・(B-2)
・
・
・
1=(-1)^(2n)・・・・・・(B-2n)
も成り立つ。
しかし、ここで注意すべきは、A系列かB系列か成り立つのであって、A系列とB系列が同時に成り立つのではない。
また同じ系列でも、その中のひとつが成り立つのであって
全てが成り立つのではない。
具体的には
(Aー1)、(B-1)から
(-1)・(-1)=1=1・1
とやってはいけない。
なぜなら、両辺の√を採ると
”-1=1”となり、質問文の原因がそのまま露呈することになる。
誤りの原因はまさにここにあるのである。
No.15
- 回答日時:
#14です。
まだおかしいので、訂正です。
-1=i^2・・・・・・(1)
=(√-1)・(√-1)・・・・・・(2)
=√{(-1)・(-1)}=√1・・・・・(3)
=1・・・・・(4)
-1=1となり、おかしいので、どこが誤りか教えて
チョーダイということらしい。
-1=i^2・・・・・・(1)
i^2=(√-1)・(√-1)・・・・・・(2)
これは良いだろう。i=(√-1)そのまま。
(√-1)・(√-1)=√{(-1)・(-1)}・・・・(3)
この式は間違いやすい。しかし、ここはただしい。
(√-1)・(√-1)=exp[πi]^(1/2)・exp[πi]^(1/2)
={exp[πi]・exp[πi]}^(1/2)
={(-1)・(-1)}^(1/2)
=√{(-1)・(-1)}
となり、(3)式は正しい。
√{(-1)・(-1)}=√1・・・・・(4)
(4)式は正しい。
なぜなら
(-1)・(-1)=1
なので。
√1=1・・・・・(9)
ここが誤り。
(9)式に於いて、
左辺=√1=√(1)^2=1=右辺
とやたはずで、それがいけない。
”1”を勝手に2乗して”(1)^2”とやってはいけない。
もちろん、一般的には
1=1・1=1^2・・・( 10 )
は正しい。
しかしここでは(4)式より
1=(-1)・(-1)=(-1)^2・・・・( 11 )
であって。√1=√{(-1)^2}なのだ。
”1”と言う時、それは
二個の情報を持つ。
(10)式と(11)式だ。どちらも正しい。
ところが、(9)式に於いて(4)式より(11)式の情報なのに、それを消し去り、勝手に(10)式の情報に置き換えたのが
誤りの原因ですね。
以上
No.14
- 回答日時:
#7です。
-1=i^2・・・・・・(1)
=(√-1)・(√-1)・・・・・・(2)
=√{(-1)・(-1)}=√1・・・・・(3)
=1・・・・・(4)
-1=1となり、おかしいので、どこが誤りか教えて
チョーダイということらしい。
-1=i^2・・・・・・(1)
i^2=(√-1)・(√-1)・・・・・・(2)
これは良いだろう。i=(√-1)そのまま。
(√-1)・(√-1)=√{(-1)・(-1)}・・・・(3)
この式は間違いやすい。しかし、ここはただしい。
(√-1)・(√-1)=exp[πi]^(1/2)・exp[πi]^(1/2)
={exp[πi]・exp[πi]}^(1/2)
={(-1)・(-1)}^(1/2)
=√{(-1)・(-1)}
となり、(3)式は正しい。
√{(-1)・(-1)}=√1・・・・・(4)
左辺=√{(-1)・(-1)}
={exp[πi]・exp[πi]}^(1/2)
={exp[2πi]}^(1/2)
={exp[πi]}
=-1
となり、右辺の”√1”とならない。
つまり、(4)式が誤り。
中身だけ、勝手に取り出し、
(-1)・(-1)=1
とやったのが、まずかったね。
以上
No.13
- 回答日時:
No.3,10です
「{e^(iπ)}^(1/2)」×「{e^(iπ)}^(1/2)」
=「{e^(iπ)}×{e^(iπ)}」^(1/2)
ここが違います。
----------------------------------
>ここが違いますって、どう違うの?
>正解を言って。
ご自分でもかかれてますね?
「{e^(iπ)}^(1/2)」×「{e^(iπ)}^(1/2)」
≠「{e^(iπ)}×{e^(iπ)}」^(1/2)
これはそのまま、ルートの中に入れているでしょう?
ここで ルートの中身だけ計算してしまうと、
{e^(iπ)}^2 になって
e^(i2π)=1 とできます。
そこでルートかけて、 √1 = 1 とかわけの分からないことをやってしまう。。。
これをやらないように、ルートの中に入れない方がいいと思うんです。
#もちろんどのレベルかによるんだけど、この質問者さんが大学生とは思えないので。
#少なくとも、複素平面上の動きなんかを考えられるレベルではないでしょうし。
ルートの中に入れる計算でも同じ答えになるんだけど、
#ひとつ前にやられています。
#σ(・・*)たちには間違いではないけど、
#この子達にとっては良くないと思う。
質問者さんが困らないように、変に考えなくていいように、
#これは大学レベルで、複素解析でやる話でしょうからね。
√(-1)×√(-1)={「e^(iπ)」^2}^(1/2) とやらずに、
= {「e^(iπ)」^(1/2)}^2 とやった方がいいのかな?
と思う。特にここは間違いやすいから。
基本線これで間違いではありませんからね。
せっかく分かろうとしてある方を混乱させてはいけないでしょう?
難しい話はどうせ先でやるんだから、今の段階でこうですよ! といえることをしっかり。
これで間違い?
√(-1) × √(-1) = {√(-1)}^2 =(-1)
こうやるのが先でしょう?って話です。
(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
対象を考えないと、質問者さんが混乱するだけですよ。
No.10
- 回答日時:
えっと、質問者さんが困惑する回答はやめませんか?
No.9さん。
No.7とNo.9でご自身の回答が矛盾してますよ。
複素解析の専門かもしれませんが、代数屋に間違い指摘されていては
どうにもならないのでは?
-1=e^(iπ) 「質問者さんはご存じないかもしれません、無視して結構」
今 √(ー1) × √(-1) を 取り使っているのですから、
与式=「{e^(iπ)}^(1/2)」^2
= e^(iπ)=-1 で何も問題ない。
一応上げておくと、
「{e^(iπ)}^(1/2)」×「{e^(iπ)}^(1/2)」
=「{e^(iπ)}×{e^(iπ)}」^(1/2)
ここが違います。
(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
ド・モアブルの定理だっけ??
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