マンガでよめる痔のこと・薬のこと

かけだし受験生です。
参考書を解いていてどうしても理解できない部分があって行き詰っています・・・。

xの関数f(x)=lim[n→∞](x^n + 2x + 1)/(x^(n-1) +1)
のグラフを書け、という問題で

|x|>1の時、x^n→∞
|x|<1の時、x^n→0
に注意して
1) |x|>1の時
2) |x|<1の時
3) x=1の時
4) x=-1の時
で場合分けして、1),2),3)はそれぞれf(x)=x,2x+1,2と求まったのですがx=-1の時の極限がわかりません。

参考書にはx=-1の時、nが偶数ならば x^(n-1)+1=0
となるから定義されない、とあるのですが、
nが奇数の時はちゃんと値を持ってますよね。
となると・・・?????。となってしまいます。

ちなみに解答のグラフでは x=-1のところは○(値なし)となっています。
長くなりましたが、ご教授いただけると助かります。
よろしくお願い致します。

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A 回答 (4件)

前回の説明では分かりにくかったように思うので


再度書き込みをさせてもらいます。

こんな数列の例はどうでしょう。
nが奇数のときan=1,nが偶数のときan=2
この数列の極限値はあると言うでしょうか?
n→∞とはどのように∞にしてもという意味です。
奇数だけとれば1、偶数だけとれば2ですが、まぜてとれば
極限値なし(振動)です。

それから (x+1)/(x+1) のような式はx=-1 のとき不定とは言いません。定義されていないとします。
(別に定義すれば除去できます)
x→-1なら不定形で極限値があります。御質問の場合とは異なります。
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この回答へのお礼

なるほど!
確かに言われてみるとわかります。x=-1とx→-1は別物ですね。
けっこうスッキリしてきました。
ありがとうございますです。

お礼日時:2004/01/11 13:04

#2のKENZOUです。

不定形についての面白い話を紹介しておきます。勉強の合間の息抜きのときにでも読んでみて下さい。
<不定の代数的演算(?)について>・・・(参考URL参照)
A、Bは任意の数でいいのですが、ここでは
 A=B、つまりA-B=0  (1)
とします。さて、(1)の両辺にAをかけると
 A^2=AB  (2)
次に両辺からB^2を引くと
 A^2-B^2=AB-B^2  (3)
これは因数分解すると
(A+B)(A-B)=B(A-B) (4)
両辺をA-Bで割ると
 A+B=B  (5)
ところでA=Bであるから(5)は2A=Aとなりますね。これは明らかに矛盾です。どんなAを持ってきても(5)を満たすことができない!これは(4)で両辺をA-B(=0)で割ったことにその原因があるのですね。つまり代数的(記号的)に書けば
 A+B=B×(0/0) (6)
となり、ここで(0/0)は不定であるが、0÷0=1と記号的な計算(?)をやったために上の不具合が発生したということです。まさに禁断の一手でした(笑い)。

<不定形と関数の連続性> 
不定形とは0/0をはじめ、∞/∞、∞-∞、∞×0・・・等、それ自身では値としての情報を持たない形を言います。そこで次の関数を考えてみます。
 sin(x)/x  (7)
((x-2)^2-4)/x  (8)
(7)、(8)共、x=0のとき不定形となりますね。しかしx→0の極限値は
 lim[x→0]sin(x)/x=1  (9)
 lim[x→0]((x-2)^2-4)/x=-4 (10)
となります(←高校数学では習わないかも知れませんがロピタルの定理から簡単に導かれます)。
さて一般論として関数f(x)がx=aで不定形となるが、x→a で極限値が存在する場合関数f(x)は点x=aで(弱い意味で)連続となり、これを「連続に拡張できる」とかいっています。相手は不定といってあっさり諦めず、ジリジリにじみ寄っていけば姿がハッキリ分かるというケースですね(←不定形の全てがうまくいく訳ではない)。
この辺の議論は少し難しいかも知れませんがココ↓を参照されては。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/ca …

参考URL:http://www2.plala.or.jp/cgi-bin/minibbs/minibbs. …
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>参考書にはx=-1の時、nが偶数ならば x^(n-1)+1=0


となるから定義されない、とあるのですが、
nが奇数の時はちゃんと値を持ってますよね。
となると・・・?????。となってしまいます。
ちなみに解答のグラフでは x=-1のところは○(値なし)となっています。

関数f(x)はx=-1の点でnが偶数であればf(-1)=0/0となって、いわゆる不定ということになりますね。さて、n→∞という意味は任意のある数Mを取った場合nは常にn>Mを満たすということですね。つまりMを任意の大きな偶数をとった場合、nは少なくともその数よりも大きいですから例えばn=M+1とおいても良いわけですね。この場合nは偶数となります。しかし改めてM=M+1とした場合、n>M(=M+1)ですから、上の同じように考えてn=M+1とおいてもよい。この場合nは奇数となります。ここでまた改めてMをM=M+1と置けば・・・ということの繰り返しで、nは際限なくどんどん大きくなっていくというのがn→∞のイメージですね。このことからn→∞の極限ではnが偶数になっているのか奇数になっているのかそんなことはサッパリ分からん(笑い)となります。関数f(x)の極限値が存在するということはnの偶奇に関係無くojamanboさんが書かれているようにn→∞である確定値を持たなければなりませんが、今のケースの場合、関数f(x)のx=-1における値はnが偶数の場合のみ定値を持ち、nが奇数の場合は不定ですからnの偶奇がサッパリ分からん極限では極限値を特定することができません。x=-1での関数f(x)はn→∞のプロセスである値と不定の間を激しく振動しっぱなし・・・というイメージになると思います。

よく似た話しとして、テキストに載っていると思いますが、F(x)=lim[x→0]sin(1/x)という関数があります。これはx→0のとき|1/x|→∞となりますがx~0の近傍では-1と+1の間のあらゆる値をとる(激しく振動)から、結局極限値は存在しない、というのがありますね。
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この回答へのお礼

レスありがとうございます。
前々から「振動」って訳わからない奴だなーと思っていました。
f(x)が値を持つことと極限値の有無は別のことですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2004/01/11 13:02

n→∞ということはnは偶数も奇数も両方とるわけで


偶数のときだけとか奇数のときだけを考えれば良いわけではありません。

偶数のときだめなら極限としてだめです。
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