合成関数の微分法について

dz/dx=dz/dy・dy/dx が成り立つように、
d2z/dx2=d2z/dy2・d2y/dx2 は成り立ちますか？

よろしくおねがいします

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/15 00:48

成り立ちません。

z = sin y,
y = 2x.
なんて反例は、いかがですか？

No.1 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/05/14 19:50

＞d2z/dx2=d2z/dy2・d2y/dx2 は成り立ちますか？

d2z/dx2 は，２階微分のつもりですね！

残念ながら成り立ちません．

d^2z/dx^2＝d^2z/dy^2・d^2y/dx^2 が成り立つと便利ですが・・・．

dz/dx ＝ dz/dy・dy/dx を x で微分すると分かります．

d(dz/dx)/dx ＝ d(dz/dy・dy/dx)/dx

d^2z/dx^2 ＝ d(dz/dy)/dx・(dy/dx) ＋ (dz/dy)・d(dy/dx)/dx

d^2z/dx^2 ＝ d(dz/dy)/dy・(dy/dx)・(dy/dx) ＋ (dz/dy)・(d^2y/dx^2)

と計算できますから，

d^2z/dx^2 ＝ (d^2z/dy^2)・(dy/dx)^2 ＋ (dz/dy)・(d^2y/dx^2)

となります．