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今、超関数について調べています。参考書等を見ても良く解りません。超関数の定義、特徴、性質を教えてください。また超関数に関して解りやすいHPがあれば教えてください。お願いします。漠然とした質問すいません。

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A 回答 (1件)

超関数とは、空間に属する関数の集合{φi}を考え、その中の関数φi(x)に対して関数値T[φi]を割り当てる操作であると考えられます。

汎関数ですね。超関数の定義式ですが、(-∞,∞)で定義された関数f(x)に対して
 Tf[φ]=∫[-∞,∞]f(x)φ(x)dx   (1)
で超関数Tfが定義されます。φ(x)が決まればTf[φ]の値が決まり、また線形性の条件も満たすことが分かります(線形汎関数)。尚、超関数Tfを関数と同じ記号f(x)で表すこともあります。くどいようですが、超関数f(x)の作用を(1)をベースに再度考えてみますと、普通の関数φ(x)と組になって積分式の中に入り込み、ある重要な作用を行う関数であるという点ですね。この点を具体的にディラックのδ関数で確認しておくと
 ψ(τ)=∫[-∞,∞]ψ(t)δ(t-τ)dt=ψ(τ) (2)
となりますが、δ関数δ(t-τ)はψ(t)からt=τにおけるψ(t)の値ψ(τ)を抜き出す作用をしていることが分かりますね。
超関数の特長として何回でも微分可能というのがあります。あと、δ関数の色々な特長はテキストに載っていると思いますので(δ関数で検索すれば色々でてくると思います)省略します。
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