ベクトル関数　回転　rot

Question

前回ベクトル関数について質問した際に、
＞体 K 上の三次元ベクトル空間 K^3 には、三個のベクトルからなる基底が存在する。
＞基底は一意ではないけれど、そのうちの一組を { ex, ey, ez } と置くと、
＞K^3 の各元は、( )ex+( )ey+( )ez という一次結合で一意に表される。
＞この式の ( ) の中身を、順に、ベクトルの ex成分、ey成分、ez成分と呼ぶ。
つまり、ベクトル関数GはG=Gxex+Gyey+Gzezと表されると理解しました。

ベクトル関数をG=（Gx,Gy,Gz）とします。

回転は、∇×Gで定義され
rot×G=(∂/∂y(Gz)-∂/∂z(Gy),∂/∂z(Gx)-∂/∂x(Gz),∂/∂x(Gy)-∂/∂y(Gx))
となりますが、
∂/∂y(Gz)はベクトル関数Gのez成分Gz（Gz）をyで偏微分するということですよね？

ez成分であるGzは
例えば、Gz=x+y^2+2zなどと表されるのでしょうか？

そうすればyで偏微分できるのですが、ez成分がさらにx,y,zの関数で表されることが
理解できません。

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

alice_44 · Accepted Answer

ああ… ポイント外した。
今回質問の点については、ex, ey, ez は基底ベクトルであればよく、
「基本ベクトル」でないといけない理由は特にない。
微分計算のあと、rot G の使い道によっては、正規直交基底でないと
マズイ場合もあるのかもしれないけど。

noname#157574 · Answer

空間における基本ベクトルの成分はi=(1，0，0)，j=(0，1，0)，k=(0，0，1)
と表すと添字を用いなくて済むので高齢者に優しい。

alice_44 · Answer

「基本ベクトル」は、中学・高校の教科書でよく見かける用語で、
たまに物理の本などでも使われる。数学用語としては標準的でなく、
正式な定義は無いんじゃないかと思うけれど… 見たことのある範囲では、
概ね、正規直交基底における基底ベクトル という意味で使われている
ように感じる。さて？

alice_44 · Answer

何が理解できない？

ベクトル関数 G によって u = G(v) であるとし、
基底｛ ex, ey, ez ｝上での v, u の成分表示が
v = x ex + y ey + z ez,
u = Gx ex + Gy ey + Gz ez であると置く。
スカラー x, y, z からベクトル v が、
ベクトル v からベクトル u が、
ベクトル u からスカラー Gx, Gy, Gz が
それぞれ一意に定まるのだから、
Gy は x, y, z の多変数(スカラー)関数である。

まだ、偏微分可能かどうかは判らないが。


ところで、
「回転は ∇×G で定義され、～となる」では、
前回と前前回の質問への回答が全く反古にされて
しまったようだが…　シクシク

Tacosan · Answer

「ez成分がさらにx,y,zの関数で表されることが理解できません」
とは, どういうことでしょうか? 「さらに」というからには「何かが x, y, z の関数で表される」ということが前提にあり, それに加えて「ez成分が～」ということでしょうか? もしそうなら, この「何か」とはなんですか? あるいはそうでないとしたら, 「さらに」は何を意味するのでしょうか?

渦は巻かないけど「原点に質量 M の物体をおいたときに, 位置 r にある質量 m の物体が感じる引力」を考えてみたらどうだろう.

ベクトル関数 回転 rot

ああ… ポイント外した。

この回答への補足

空間における基本ベクトルの成分はi=(1，0，0)，j=(0，1，0)，k=(0，0，1)

「基本ベクトル」は、中学・高校の教科書でよく見かける用語で、

何が理解できない？

この回答への補足

「ez成分がさらにx,y,zの関数で表されることが理解できません」

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