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大学への数学「マスター・オブ場合の数」の中の研究問題です。

空間をどの2つの交わりも直線で、どの3つの交わりは1点で、どの4つをとっても共有点が
無いようなn個の平面を分割するときの、領域の数の問題ですが、

まず、平面をn本の直線で、どの2本も1点で交わるが、どの3本も1点では交わらないように
分割するときの、領域の個数は(n^2+n+2)/2-(1)です。

また、空間において、k-1枚の平面で作られた領域がf(k-1)個に分割されていたとして、
これにk枚目の平面を題意のようにおいた時、k枚目の平面上の、他の平面との交線で分け
られた1つ1つの領域は、それまですでにあった空間領域の1つを2つに分ける‘面’であるの
で、k枚目の平面によって、空間領域は、((k-1)^2+(k-1)+2)/2個増える。

よって、1+∑[n、K=1]((k-1)^2+(k-1)+2)/2=(n^3+5n+6)とあります。

ようするに、k枚目の平面を入れると、f(k-1)個の領域が増えるとなっていますが、

分からないのは、f(k-1)=((k-1)^2+(k-1)+2)/2-(2)ということなので、
平面の領域の個数(n^2+n+2)/2にn=k-1を代入すると、(2)になりますが、
例えば、添付画像の3(=k-1と考えて)本の領域には7個の領域がありますが、
4(=kと考えて)本目の直線を引くと、7個の領域が増えると言った内容の説明があります。

空間の領域の個数を求める問題であるのに、なぜ、平面での増えた領域の数が空間の領域
の数が対応するのかが理解出来ません。

Tacosan様、先ほどは失礼いたしました、改めて質問させて頂きます。

何卒宜しくお願い致します。

※添付画像が削除されました。

A 回答 (3件)

すみません, いずれにしても #2 の後段のように次元を 1つ落として「平面上の直線群」でまずは考えてみてはどうでしょうか. 方針自体は「平面上の直線群」でも「空間中の平面群」でも同じですし.



「『平面上の直線群』なら理解できるけど『空間中の平面群』だと分からない」ということだと.... 「頭の中でイメージしてみる」, くらいかなぁ.

この回答への補足

有難うございます。なんとか考えてみます。
また、大変失礼ながら、1週間位この質問クローズせずに、見守ってみます。

補足日時:2012/05/25 21:10
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この回答へのお礼

1週間位考えましたが、解決できました。
四面体に平面を、4枚入れると、題意のように分割されることが理解できました。
作った四面体を「質問のし直し」の前に画像添付しますので。何かの参考にと・・・
(ただし、結構見にくいので、お許しをm(__)m)

お礼日時:2012/05/31 13:06

それで理解できているということは, この問題の答そのものはわかっている (ここに挙がっている解答は理解できないとしても) ということでいいですか?



もしそうでない, なぜ (n^3+5n+6)/6 になるのかすらわからないというのであれば, 「n本の直線で平面を分割する」問題もいきなり「n本の場合」を考えるのでなく, 「n-1本の直線で平面が分割されているときに, n本目を追加したらどれだけ領域が増えるのか」を考えてみるといいかもしれません. 追加した「n本目の直線」は, それまでの n-1本の直線によっていくつの部分に分割されるでしょうか? 一方, 「n本目を追加したときに増える領域の数」はいくらでしょうか?

この回答への補足

何度も有難うございます。
回答としては、上記です。自分が分からないのは、平面の領域の数がなぜ、空間の領域の数に適用できるかです。
なお、システムエラーで画像が消えました。

補足日時:2012/05/25 01:26
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(1) 式がどのように導かれるか, わかりますか?

この回答への補足

有難うございます。

1+(直線の交点の数)+(直線の本数)=1+nC2+nです。

補足日時:2012/05/25 00:15
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