お酒好きのおしりトラブル対策とは

次の関数のマクローリン展開を求めよ。

(1)(x+3)/(1+xー2x^2)

(2)(1+x)^(1/n)

宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

(1)


既に#1さんがおやりの展開で合ってるので省略。

(2)
(1+x)^(1/n)
=1+(1/n)x-((n-1)/(2n^2))x^2+((n-1)(2n-1)/(3!n^3))x^3
-((n-1)(2n-1)(3n-1)/(4!n^4))x^4
+((n-1)(2n-1)(3n-1)(4n-1)/(5!n^5))x^5
...
-((-1)^k)((n-1)(2n-1)・...・((k-1)n-1)/(k!n^k))x^k+ ...

となるかと思います。
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(1) f(x)= (x+3)/(1+x-2x^2)=(5/3)(1/(2x+1))-(4/3)(1/(x-1))


と,部分分数に分けて微分して行ったほうがやりやすいでしょう。
1/(2x+1) を順に微分していくとn次導関数は
(-1)(-2)・・・(-n)(2x+1)^-(n+1) ・2^n=(n!)(-2)^n・(2x+1)^-(n+1)
1/(x-1) のn次導関数は
(-1)(-2)・・・(-n)(x-1)^-(n+1)=(n!)(-1)^n・(x-1)^-(n+1)
f(x)のn次導関数は
(5/3)(n!)(-2)^n・(2x+1)^-(n+1) -(4/3)(n!)(-1)^n・(x-1)^-(n+1)
です。ご自分で確認してください。
これのx=0での値は整理して
(1/3)(n!)(-1)^n・(5・2^n +4・(-1)^n)
これを公式にあてはめていけばよいでしょう。最初の何項かを計算すると
f(x)=3-2x+8x^2 -12x^3+・・・・+{(1/3)(-1)^n・(5・2^n +4・(-1)^n)}x^n+・・・

(2)f(x)=(1+x)^(1/n) のnじ導関数は
(1/n)(1/n -1)(1/n -2)・・・・(1/n -(n-1))(1+x)^(1/n-(n-1))
x=0での値は
(1/n)(1/n -1)(1/n -2)・・・・(1/n -(n-1))
より
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皆様よろしくお願いいたします。

f(x)=exp(x)/sin^2(x)

を分母分子別でマクローリン展開し計算すると、次のようになようです。

f(x)=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/(x-x^3/3!+x^5/5!-…)^2
  =(1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/{x^2*(1-x^2/3!+2*x^4/45-…)} …(1)
  =1/x^2+1/x+5/6+x/3+…                    …(2)

(1)はマクローリン展開をn=1のとき、2のときと順に計算して出せますが、
(2)の除算結果はどのような手順で計算されたものでしょうか。
計算の手順も含めてご教示頂きたくお願いいたします。

Aベストアンサー

いわゆる未定係数法ですね。
ところで、(1) 式の分母は、{x^2*(1-x^2/3+2*x^4/45-…)} のような気がするけど。

1 本題に入る前に、分母を x^2 で括ることの意味を説明します。こうすることによって、

f(x) = (1/x^2)g(x)
g(x) = (1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/(1-x^2/3+2*x^4/45-…)

となります。g(x) の分母の定数項が 0 でないことから、g(x) は、0 の近傍で整関数であることが分かります。したがって、適当な係数 a、b、c、d、… でもって

g(x) = a + bx + cx^2 + …

と表すことができます。g(x) に負べきの項が現れないので、問題が単純化されるのです。

2 a、b、c、d … は、次にようにして計算できます。

1+x+x^2/2!+x^3/3!+… = g(x)(1-x^2/3+2*x^4/45-…)
   = (a + bx + cx^2 + dx^3 + …)(1-x^2/3+2*x^4/45-…)
   = a + bx + (c-a/3)x^2 + (d-b/3)x^3 + …

最後の式の … は、xの4 次以上の項です。両辺の定数項、1次の項、2次の項、3次の項、・・・ の係数が等しいことから、

1 = a
1 = b
1/2! = c – a/3
1/3! = d – b/3
・・・

となります。aから順にこれを解いて、

a =1
b =1
c = 5/6
d = 1/2
・・・
を得ます。

すなわち、

g(x) = 1 + x + (5/6)x^2 + (1/2)x^3 + ・・・
f(x) = 1/x^2 + 1/x + 5/6 + (1/2)x + ・・・

です。最後の項が x/3 でなく (1/2)x となりました。当方の計算間違いだったら悪しからず

いわゆる未定係数法ですね。
ところで、(1) 式の分母は、{x^2*(1-x^2/3+2*x^4/45-…)} のような気がするけど。

1 本題に入る前に、分母を x^2 で括ることの意味を説明します。こうすることによって、

f(x) = (1/x^2)g(x)
g(x) = (1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/(1-x^2/3+2*x^4/45-…)

となります。g(x) の分母の定数項が 0 でないことから、g(x) は、0 の近傍で整関数であることが分かります。したがって、適当な係数 a、b、c、d、… でもって

g(x) = a + bx + cx^2 + …

と表すことができます。g(x) に負べきの項が現...続きを読む


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