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次の関数のマクローリン展開を求めよ。

(1)(x+3)/(1+xー2x^2)

(2)(1+x)^(1/n)

宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

(1)


既に#1さんがおやりの展開で合ってるので省略。

(2)
(1+x)^(1/n)
=1+(1/n)x-((n-1)/(2n^2))x^2+((n-1)(2n-1)/(3!n^3))x^3
-((n-1)(2n-1)(3n-1)/(4!n^4))x^4
+((n-1)(2n-1)(3n-1)(4n-1)/(5!n^5))x^5
...
-((-1)^k)((n-1)(2n-1)・...・((k-1)n-1)/(k!n^k))x^k+ ...

となるかと思います。
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(1) f(x)= (x+3)/(1+x-2x^2)=(5/3)(1/(2x+1))-(4/3)(1/(x-1))


と,部分分数に分けて微分して行ったほうがやりやすいでしょう。
1/(2x+1) を順に微分していくとn次導関数は
(-1)(-2)・・・(-n)(2x+1)^-(n+1) ・2^n=(n!)(-2)^n・(2x+1)^-(n+1)
1/(x-1) のn次導関数は
(-1)(-2)・・・(-n)(x-1)^-(n+1)=(n!)(-1)^n・(x-1)^-(n+1)
f(x)のn次導関数は
(5/3)(n!)(-2)^n・(2x+1)^-(n+1) -(4/3)(n!)(-1)^n・(x-1)^-(n+1)
です。ご自分で確認してください。
これのx=0での値は整理して
(1/3)(n!)(-1)^n・(5・2^n +4・(-1)^n)
これを公式にあてはめていけばよいでしょう。最初の何項かを計算すると
f(x)=3-2x+8x^2 -12x^3+・・・・+{(1/3)(-1)^n・(5・2^n +4・(-1)^n)}x^n+・・・

(2)f(x)=(1+x)^(1/n) のnじ導関数は
(1/n)(1/n -1)(1/n -2)・・・・(1/n -(n-1))(1+x)^(1/n-(n-1))
x=0での値は
(1/n)(1/n -1)(1/n -2)・・・・(1/n -(n-1))
より
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