微分積分学の問題です

以下の積分を計算せよという問題です。


∫∫∫zdxdydz
D={(x,y,z) l x>=0,y>=0,z>=0 , (x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)<=1}

途中の積分でてこづってしまいました。どなたかよろしくお願いいたします。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/29 19:50

∫∫∫[D] zdxdydz

=∫∫[x>=0,y>=0,(x^2/a^2)+(y^2/b^2)<=1]dxdy∫[0,c√{1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)}]zdz
=∫∫[x>=0,y>=0,(x^2/a^2)+(y^2/b^2)<=1](1/2)(c^2){1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)}dxdy
=(1/2)(c^2)∫∫[x>=0,y>=0,(x^2/a^2)+(y^2/b^2)<=1]{1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)}dxdy

x=a*rcos(t),y=b*rsin(t)と変数変換すると
{1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)}dxdy=(1-r^2)abrdrdt
より

=(1/2)ab(c^2)∫[0,1] r(1-r^2)dr∫{0,π/2]dt
=(π/4)ab(c^2)[(1/2)r^2-(1/4)r^4][0,1]
=(π/4)ab(c^2)[(1/2)-(1/4)]
=ab(c^2)π/16

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/05/29 14:23

平面z=z0と領域Dの共通部分をS(z0)とすると

∫∫∫_D z dxdydz =∫[-z1,z1]dz z∫∫_S(z) dxdy
となります。

後ろの∫∫_S(z) dxdy　は単に領域S(z)の面積になります。S(z)は楕円となりますのでその面積は簡単に計算できるでしょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/29 12:47

どう「てこづった」んでしょうか?

たぶん z の積分を最後にまわすのが最も簡単だし, 実際問題としてそれほど困難はないように見えますが....