次のような素数の問題

(1)n^3 + 1 = p をみたす自然数nと素数pの組をすべて
   もとめよ。

(2)n^3 + 1 = p^2 をみたす自然数nと素数pの組をすべて
   もとめよ。

を聞かれ、
(1)n=1 p=2 (左辺を因数分解して。)
(2) n=2 p=3 という解がでました。

これであっているのか自信がありません。
どなたか教えていただけないでょうか。

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A 回答 (7件)

siegmund です.



先ほどの,(2)でpは素数でなくても云々はちょっと間違えました.
そこは削除してください.
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 私も「ありがとうございます」


 「素数」というのはそもそもそういうものだったですね。私はなんでそれに気づかなかったんだろう。
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回答もせず再登場で失礼しますが,Nickee さんに一言お礼を。



ありがとうございました。お陰で納得できました。pが素数だから,すべても何も解はこれしかないわけですね。

ところで,失礼ですが先の回答の中の左辺の因数分解の式 (n+1)(n~2+n-1) となっていますが,(n~2-n+1) のタイプミスですよね。

念のため。
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あってると思いますよ。

( ^ ^ )
素数はその数でしか割れないものだから、左辺を因数分解すると、(n+1)(n~2+n-1)
って出てくるから、どちらかが、1でなければならない。計算すると、0もでてくるけど、自然数ではないし、右辺が1となって、素数でもない。
また、2の問題では、素数を2回かけているので、1の問題に(n+1)=(n~2-n+1)という条件が加わってくる。ここの場合n=0はさっきの理由同様、n=1は右辺が+-ルート2になるのでダメ。

僕の考え方はこうですけど。参考にしてもらえれば。
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rei00さんの杜折、問題は「すべて」ですね。


言い方を変えれば、他の組が存在しないことを証明しないといけない・・。ちょっと考えてみます。
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すみません。

回答でも何でもないんですが一言。

興味があって解こうとしたんですが,「すべて求めよ」の「すべて」に引っかかってダメでした。

siegmund さんがおっしゃっている様に,解答をお示し下さいませんか。特に,それが「すべて」かどうかをどうやって判断したのかと一緒に。

って,回答者が質問しちゃダメですか・・・。
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答は合っていると思います.


(2)の問題のpは素数でなくて自然数でもOKのようですが...

koukou さんが解かれた過程と考え方を書かれて,
どこが自信がないのか明確にされた方がアドバイスしやすいと思いますよ.
あるいは,そういう作業をしている内に「やっぱりこれでよかった」
と自信が出るかも知れませんね.
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