三角関数の積分計算

つまりましたのでご助言いただけると幸いです。

∫[0→2pi]dθ 1/(1-acosθ)
=∫[0→pi]dθ 1/(1-acosθ) +∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ)
=2∫[0→pi]dθ 1/(1-a^2cos^2θ)
=2∫[0→∞]dt 1/(a^2-t^2-1)

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/31 17:16

aについて条件は何もないでしょうか？

何もないのなら場合分けが必要でしょう！
a=0の場合
　被積分関数＝1で積分=2π
0<a<1の場合
　積分可能
a=1の場合
　cosθ=1で被積分関数＝∞
　積分不可（∞）
a=-1の場合
　cosθ=-1で被積分関数＝∞
　積分不可（∞）
a>1の場合
　cosθ=1/aで被積分関数＝±∞
　積分不可
a<-1の場合
　cosθ=-1/aで被積分関数＝±∞
　積分不可
-1<a<0の場合
　積分可能

おやりの積分計算は
0<a<1の場合を想定して見えるようですが…。
そうであれば
>∫[0→2pi]dθ 1/(1-acosθ)
>=∫[0→pi]dθ 1/(1-acosθ) +∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ)
=2∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ)
となりますので
わざわざ
>=2∫[0→pi]dθ 1/(1-a^2cos^2θ)
>=2∫[0→∞]dt 1/(a^2-t^2-1)
と複雑化する意味はないでしょう？

この回答への補足

ありがとうございます！
a>0を想定しています。

＞0<a<1の場合を想定して見えるようですが…。
＞そうであれば
＞>∫[0→2pi]dθ 1/(1-acosθ)
＞>=∫[0→pi]dθ 1/(1-acosθ) +∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ)
＞=2∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ)
＞となりますので
＞わざわざ
＞>=2∫[0→pi]dθ 1/(1-a^2cos^2θ)
＞>=2∫[0→∞]dt 1/(a^2-t^2-1)
＞と複雑化する意味はないでしょう？

おっしゃる通りでしたm（-_-）m


＞a>1の場合
＞　cosθ=1/aで被積分関数＝±∞
＞　積分不可

うーんそうなんですが、これが主値積分の場合は収束しそうですよね？？

補足日時：2012/06/02 00:14

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/31 16:38

ぶぶんぶんすうにぶんかいしてみてはどうだろうか.