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複素数の線積分に関する問題です。

1/(2i)∫[L]z~dz=S

を示せという問題です。 ただし、z~は複素数zの共役数で、 Sは複素平面上の閉じた経路Lで囲まれた部分の面積です。

どなたか、解答を教えてください。 どこから手を付けていいのか分かりません。

A 回答 (4件)

♯1です


極方程式r=φ(θ) (α≦θ≦β)で与えられる曲線と線分θ=α(0≦r≦φ(α))および
線分θ=β(0≦r≦φ(β))で囲まれる部分の面積Sは,
S=(1/2)∫[α,β](φ(θ))^2dθ
(極方程式と面積)
となります。

なお,Cauchy-Riemannの方程式で調べれば分かりますが,関数 f(z)=z~ ( zの共役複素数)
は正則ではありません。
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z = x+iy (x,yは実数) と置くと、


グリーンの定理より、

∫[L] z~ dz = ∫[L] (x-iy)(dx+idy)
= ∫[L] (x-iy)dx + (ix+y)dy
= ∫[S] { ∂(ix+y)/∂x - ∂(x-iy)/∂y }dxdy ←ここ、グリーン
= ∫[S] { 2i }dxdy
= 2i ∫[S] dxdy
= 2iS

参考↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA% …
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被積分関数が積分領域で正則であれば、


コーシーの積分定理より周回積分の値は0になります。
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Lをz(t)=r(t)e^(it) (t: 0→ 2π)とすると


dz/dt=r '(t)・e^(it) +r(t)・i・e^(it)
z~=r(t)e(-it)
これより
∫[L]z~dzを計算するとe^(it)・e^(-it)=1に注意して
=∫{0,2π]r(t)r '(t)dt+i∫[0,2π]r(t)^2dt
ここで
∫{0,2π]r(t)r '(t)dt=(1/2)r(t)^2 (t:0→ 2π)=r(2π)^2-r(0)^2=0 :閉じた経路なので
i∫[0,2π]r(t)^2dt=2iS :公式(証明は御容赦下さい)
より。

この回答への補足

i∫[0,2π]r(t)^2dt=2iS :公式 は何の公式ですか?

 お手数おかけしてすみません。

補足日時:2012/06/06 00:46
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