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∬D√(4x^2-y^2) dxdy  D: 0≦y≦x≦1

上記の重積分の問題についてですが、どのように解いていいか分かりません。

√(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√(1-(y/2x)^2)

y/2x=sinθとすると y=2xsinθ dy=2xcosθdθ  

として良いでしょうか。 続きまたは最初からご教授宜しくお願いします。

gooドクター

A 回答 (4件)

>∬D√(4x^2-y^2) dxdy  D: 0≦y≦x≦1


=∫[0→1]dx・∫[0→x]√(4x^2-y^2)dy

>√(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√(1-(y/2x)^2)
>y/2x=sinθとすると y=2xsinθ dy=2xcosθdθ 
続きから、 
y=2xsinθを代入して、 
√(4x^2-y^2)=2x√(1-sin^2θ)=2xcosθ
y:0→xは、θ:0→π/6
∫[0→1]dx・∫[0→x]√(4x^2-y^2)dy
=∫[0→1]dx・∫[0→π/6]2xcosθ・2xcosθdθ
=∫[0→1]4x^2dx・∫[0→π/6]cos^2θdθ

ここで、2倍角の公式より、
∫[0→π/6]cos^2θdθ
=∫[0→π/6](1/2)(1+cos2θ)dθ
=(1/2)[θ+(1/2)sin2θ][0→π/6]
=(1/2){π/6+(1/2)sin(π/3)}
=(1/2)(π/6+√3/4)

∫[0→1]4x^2dx・∫[0→π/6]cos^2θdθ
=∫[0→1]4x^2×{(1/2)(π/6+√3/4)}dx
=4×{(1/2)(π/6+√3/4)}・∫[0→1]x^2dx
=4×{(1/2)(π/6+√3/4)}×(1/3)
=(1/18)(3√3+2π)

でどうでしょうか?
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この回答へのお礼

自分の考えの続きから回答していただき、
わかりやすく、大変助かります。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2012/06/09 12:43

♯2ですが


高校生ではないですよね・・・
∫√(a^2-x^2)dx=(1/2){x√(a^2-x^2) +(a^2)sin^(-1)(x/a)}
sin^(-1)( )はsinの逆関数の意味。
という公式習いませんでしたか。
問題の式で,yについての積分とみなすときは4x^2=(2x)^2は定数扱いです。
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この回答へのお礼

ご指摘いただいた公式で解けること理解できました。
今まで気づかずにいたので大変参考になります。
ありがとうございます。

お礼日時:2012/06/09 12:56

√(4x^2 -y^2)のyについての不定積分は公式を使って


(1/2){y√(4x^2-y^2) + 4x^2sin^(-1)(y/2x)}
これをy:0→xで定積分
結果をxについて積分(x:0→1)
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この回答へのお礼

どうもご回答ありがとうございます。
自分の勉強不足で申し訳ないですが、
どの公式をどのように使えば上式になるか
教えていただけると助かります。

お礼日時:2012/06/06 20:22

∬D√(4x^2-y^2) dxdy  


= ∫[0,1]{4x^2}dx・∫[0,π/6]{cos^2θ}dθ
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。
よろしければ、途中の式なども教えていたくと
助かります。

お礼日時:2012/06/06 20:07

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