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|→a + →b|≦|→a| + |→b| 内積の定義と性質のみを使ってを証明してください

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A 回答 (3件)

数学Bで内積の定義は、


θをa↑とb↑のなす角として(a↑・b↑)=|a↑||b↑|cosθ・・・(ア)
又は
a↑=(a1,a2)、b↑=(b1,b2)として(a↑・b↑)=a1b1+a2b2・・・・・(イ)
与式の両辺は正なので、左辺の二乗≦右辺の二乗を証明する。
a↑+b↑=(a1+b1,a2+b2)より(イ)を使って
与式の左辺の二乗=|a↑+b↑|^2=(a1+b1)^2+(a2+b2)^2
=(a1^2+a2^2)+(b1^2+b2^2)+2(a1b1+a2b2)
=|a↑|^2+|b↑|^2+2(a↑・b↑)
(ア)より2(a↑・b↑)=2|a↑||b↑|cosθ≦2|a↑||b↑|
よって与式の左辺の二乗=|a↑|^2+|b↑|^2+2(a↑・b↑)
≦|a↑|^2+|b↑|^2+2|a↑||b↑|=(|a↑|+|b↑|)^2
=与式の右辺の二乗     (証明終わり)
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0≦|→a + →b|


0≦|→a| + |→b|
なので、問題の左辺、右辺を2乗しても大小関係は変わらない。

|→a + →b|^2 = (→a+→b, →a+→b) = (→a,→a) + 2(→a,→b) + (→b,→b)
= |→a|^2 + 2(→a,→b) + |→b|^2          (1)
(|→a| + |→b|)^2 = |→a|~2 + 2|→a||→b| + |→b|^2        (2)

(2)ー(1) = 2|→a||→b| ー 2(→a,→b) = 2|→a||→b|(1-cosθ) ≧ 0
よって、
|→a + →b|^2 ≦ (|→a| + |→b|)^2
|→a + →b| ≦ |→a| + |→b|


(→a, →b)はベクトルの内積の意味。
θは→aと→bのなす角度で、0(rad)≦θ≦π(rad)。

みたいなかんじ。
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> |→a + →b|≦|→a| + |→b|内積の定義と性質のみを使ってを証明してください


両辺とも正なので、2乗して比べます。→省略します。
(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-{|a|^2+2(a・b)+|b|^2}
=2{|a||b|-(a・b)}
ここで、|a||b|-(a・b)≧0……(1)を証明します。
|ta+b|^2(tは実数)
=|ta|^2+2(ta・b)+|b|^2
=(|a|^2)t^2+2t(a・b)+|b|^2≧0
これはtについての2次式だから、すべてのtについて成り立つためには、
判別式D≦0であれば良いから、
D/4=(a・b)^2-|a|^2|b|^2
=|(a・b)|^2-(|a||b|)^2≦0より、
|(a・b)|^2≦(|a||b|)^2
両辺とも正だから、|(a・b)|≦|a||b|より、(1)が成り立つ。
(1)より、(|a|+|b|)^2-|a+b|^2≧0
(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2だから、
|a|+|b|≧|a+b|
よって、|→a + →b|≦|→a| + |→b|

でどうでしょうか?
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