複素数平面の問題なのですが

複素数平面上で
z0＝（√３＋i）（cosθ＋isinθ）
z1＝４｛（１－sinθ）＋icosθ｝/(1-sinθ)-icosθ
z2＝-2/z1
の表す点をそれぞれP0,P1,P2とする。(0°＜θ＜90°)
偏角は-180°以上180°未満とする。
この問題で｜z0｜=2,argz0=30°+θ
｜z1｜=4,argz1=90°+θ
また｜z1｜/｜z0｜=2,argz1/z0=60°,P1P0=2√3
は求めることができたんのですが次の問題がどうにも解けなくて困っています。
原点O,P0,P1,P2の4点が同一円周上にある場合を考える。このとき、∠OP2P1を考えると
argz1-z2/z2=-○○°・・・(1)
であるから、
○cos2θ-○＝０・・・(2)
が成り立つ。
ここでz1-z2/z2を整理したときに8cosθ+isin2θ-1となることから、(1)の値は８と１が入るという予想が立ち
そこから(1)の偏角が－90となるということは考えられるのですが、きちんとした考え方がわかりません。
どなたか、しっかりとした回答の根拠を教えていただけませんでしょうか？お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： HOGERA3 回答日時： 2004/01/16 09:57

ＯＰ0 = |z0| = 2

ＯＰ1 = |z1| = 4
Ｐ1Ｐ0 = 2√3
∠Ｐ1ＯＰ0 = arg(z1/z0) = 60°
ってことは
∠ＯＰ0Ｐ1 = -90°
ですよね（１：２：√３ですから）。
このことから、ＯＰ1がこの円の直径になることがわかります。
ということは、∠ＯＸＰ1 = -90°
（Ｘは円周上のＰ1、Ｏ以外の任意の点）
となります。
ですから、∠ＯＰ2Ｐ1 = arg(z1-z2/z2) = -90°。
したがって、
z1-z2/z2の虚部 = 0
であるから、（２）が成り立つ。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
普段、中学生に教える時に１：２：√３を
忘れないようにと教えてる自分がこんなところで
忘れるなんて、正直恥ずかしかったです（汗）
ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/16 22:38

No.3 回答者： HOGERA3 回答日時： 2004/01/16 10:31

No.1です。

ちょっと大雑把でした。

＞∠ＯＰ0Ｐ1 = -90°
＞　．．．
＞ということは、∠ＯＸＰ1 = -90°
＞（Ｘは円周上のＰ1、Ｏ以外の任意の点）
＞となります。

+90°か -90°かをちゃんと考えないとダメですね。

この回答へのお礼

補足の説明ありがとうございました。
色々、本当に勉強になります。
たしかに－９０°にならないとおかしいですね。

お礼日時：2004/01/16 22:47

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2004/01/16 10:12

＞ここでz1-z2/z2を整理したときに8cosθ+isin2θ-1となることから、

これ間違えてません？
8(cos2θ+isin2θ)-1
ですよね？

まず、
＞このとき、∠OP2P1を考えると
とあるので、∠OP2P1を求めます。

・∠OP0P1＝90°
よって、線分OP1は円の直径。
∴∠OP2P1＝90°

よって、arg{(z1-z2)/(z2-0)}=90°または-90°
(偏角は-180°以上180°未満なので)
このうち、(1)にあてはまるのは、-90°なので、
arg{(z1-z2)/z2}=-90°
(個人的には、-90°でなくて、90°の気がするのですが・・・)

よって、(z1-z2)/z2は純虚数。
すなわち、(z1-z2)/z2=(8cos2θ-1)+i(8sin2θ)の実部は0
よって、8cos2θ-1=0

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
かっこをはずした際に、sinの前に８をつけるのを
忘れていました。すみません（汗）
∠OP2P1＝９０°からOP1が円の直径になってることに
気がつきませんでした。

お礼日時：2004/01/16 22:44