次の積分の解き方を教えてください

∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、またどうして∫√（1+x^2）dx=1/2｛x√（1+x^2）+log(x+√（1+x^2）)｝+となるのかを教えてください

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/09 14:15

← A No.1 補足

不定積分ができたなら、定積分は代入計算にすぎない。
∫√(1+4x^2)dx = (x/2)√(1+4x^2) + (1/4)log(2x+√(1+4x^2)) + (積分定数)
の右辺に、x=2 と x=0 を代入して、引き算しよう。
不定積分を置換積分で計算した後、変数を x に戻さないでいると、
4=tanθ となる θ の値は何だ？ という所で、詰まってしまうかもしれないが。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/09 09:42

そうだね。

あとは、cos の符号に注意して
θ の範囲を適切にとる ことの
説明を添れば、完璧。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/09 01:50

＞∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、∫[0～２]√(1+4x^2)dx

＞またどうして∫√（1+x^2）dx=1/2｛x√（1+x^2）+log(x+√（1+x^2）)｝+となるのか
部分積分です。
f'（ｘ）＝１，ｆ（ｘ）＝ｘ ，ｇ（ｘ）＝√（１＋ｘ^2），
ｇ'（ｘ）＝(1/2)（１＋ｘ^2）^(-1/2)（２ｘ）＝ｘ／√（１＋ｘ^2），
∫√（1+x^2）dx
＝ｘ√（１＋ｘ^2）－∫｛ｘ^2／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
＝ｘ√（１＋ｘ^2）－∫［｛（１＋ｘ^2）－１｝／√（１＋ｘ^2）］ｄｘ
＝ｘ√（１＋ｘ^2）－∫√（１＋ｘ^2）ｄｘ＋∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
２項目を移項すると
２∫√（1+x^2）dx
＝ｘ√（１＋ｘ^2）＋∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘの積分
ｘ＝tanθとおくと，ｄｘ＝sec^2θｄθ
√（１＋ｘ^2）＝√（１＋tan^2θ）＝√sec^2θ＝secθ
＝∫sec^2θｄθ／secθ
＝∫secθｄθ
＝∫ｄθ／cosθ
＝∫（cosθ／cos^2θ）ｄθ
＝∫｛cosθ／（１－sin^2θ）｝ｄθ
ここで、sinθ＝ｔとおくと、ｄｔ＝cosθｄθ
＝∫｛１／（１－ｔ^2）｝ｄｔ
部分分数に分けると、
＝(1/2)∫｛１／（１－ｔ）＋１／（１＋ｔ）｝ｄｔ
＝(1/2)｛－log｜１－ｔ｜＋log｜１＋ｔ｜｝＋Ｃ
＝(1/2)log｜（１＋ｔ）／（１－ｔ）｜＋Ｃ
＝(1/2)log｜（１＋sinθ）／（１－sinθ）｜＋Ｃ
ここで、
（１＋sinθ）／（１－sinθ）
＝（１＋sinθ）^2／（１－sin^2θ）
＝｛（１＋sinθ）／cosθ｝^2
＝｛（１／cosθ）＋（sinθ／cosθ）｝^2
＝｛secθ＋tanθ）^2
＝｛ｘ＋√（１＋ｘ^2）｝^2
よって、
∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
＝(1/2)log｛ｘ＋√（１＋ｘ^2）｝^2＋Ｃ
＝log｜ｘ＋√（１＋ｘ^2）｜＋Ｃ
よって、
２∫√（1+x^2）dx
＝ｘ√（１＋ｘ^2）＋log｜ｘ＋√（１＋ｘ^2）｜＋Ｃより、
∫√（1+x^2）dx
＝(1/2)｛ｘ√（１＋ｘ^2）＋log｜ｘ＋√（１＋ｘ^2）｜｝＋Ｃ

＞∫[0～２]√(1+4x^2)dx
ｕ＝２ｘとおくと、ｄｕ＝２ｄｘより、ｄｘ＝(1/2)ｄｕ　ｘ：０→２は、ｕ：０→４
＝∫[0～４](1/2)√(１＋ｕ^2）ｄｕ
上の式に代入すると、
＝［(1/2)×(1/2)｛ｕ√（１＋ｕ^2）＋log｜ｕ＋√（１＋ｕ^2）｜｝］［０→４］
＝(1/4)｛４√（１＋４^2）＋log｜４＋√（１＋４^2）｜｝
＝√１７＋(1/4)log｜４＋√１７｜

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/09 00:54

「解けなかった」って～のは, 具体的になにがどうなって「解けなかった」の?

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/08 21:46

2x = tanθ と置いてみたら、

素敵なことが起こると思う。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
すいません、質問悪かったです。不定積分の問題なら2x = tanθ と置いて解けると思うんですが
本当の問題は∫[0～２]√(1+4x^2)dxの定積分なので、2x = tanθとおいても解けなかったです。

ちなみに∫[0～２]√(1+4x^2)dxの解答は√17+(1/4)log(4+√17)になるらしいのですがどうやっても答えがでないんです

お礼日時：2012/06/08 21:54