出産前後の痔にはご注意!

お世話になります。

掲題の件、論理回路の項に軽く記載されており、気になったので
調べてみたのですが、よく解りませんでした。

Wikipedia >>>>>
命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の双対といい、入れ替えて得られた命題をもとの命題の双対命題と呼ぶ。双対の双対はきっちり元に戻る。
元の論理式が証明可能ならばその双対の否定が証明可能であり、ある論理式の否定が証明可能ならば、その論理式の双対が証明可能になる。
<<<<< http://goo.gl/vmSxI

ある論理式の構成要素すべてについて反対の記号へ置き換えたものを
双対と呼び、更に当該双対命題について、反対の記号へ置き換えると
元の式に戻る、という意味かと思うのですが(間違っていたらご指摘ください)、
これ自体に何の意味があるのでしょうか?

書籍では記号が多用されており、イメージがつかみにくかったので、
少しレベルを下げて、ご教示いただけると助かります。

宜しくお願いします。

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A 回答 (2件)

文章だけだと非常にわかりにくいことこの上ないですが、


実は小学校高学年から中学生にかけて算数の授業でやったはずの
『ド・モルガンの法則』のことですよね。

そんなもん知らん!というのであれば
四角の中に丸を二つ書いて色付けをする『ベン図』を
書けば、あああれか、と思い出すんじゃないでしょうか。
ベン図に適当に色をつけてみて、色が付いている部分を残さず言及できるなら
それは色がついてない部分を言及しているのと同じ、というやつです。


で、何に使うの?というと、上記のベン図の場合、
色が付いている部分への言及と色が付いていない部分への言及が同じなのですから
論理上、簡単に表現できるほうへ言い換えてもよい、ということになります。


算数では三日月のや弧の面積の計算のように、
計算しやすい方への書き換えを認めていますよね。
なんちゃらの定理~は、実はこういう外側から攻めて証明したものが多いです。

述語の活用でも、言いやすい方や短く表現できる方を選択してもよい、
あるいは、例外を全部証明することで本題の証明としても良い、ということでもあります。
(もちろんこの法則の前提と同じく、全体が明らかな場合に限るんですけど。)

さらに派生として、無限の場合はどうなるか、とか
哲学の研究分野としては論理否定(不合理)の場合には何が起きているか?
というネタもありますねー。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ド・モルガンの法則、覚えています!!

ご指摘されて納得です。
また、補足のご説明や新たなテーマを与えていただき
大変感謝しております。

あらためて御礼申し上げます m(_ _)m

お礼日時:2012/06/13 21:17

若し全てのAがBに属しているのでしたら、


Bの一部はAになりますよね。
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この回答へのお礼

はい、おっしゃるとおりで…。

お礼日時:2012/06/13 21:13

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Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q【論理学】シェファーの棒について

論理学の書籍(「論理学」・・・野矢茂樹・・・東京大学出版会)に紹介
されていた、"シェファーの棒"と呼ばれる記号の意味が理解できません。

曰く、当該論理記号の表記は"|"の一種類のみで、命題論理を
表現できるらしいのですが、上述の通り、恥ずかしながら記号の意味が
わからない状況です。

同書には、丁寧に真理値表も掲載されていたのですが、記号を日本語へ
翻訳できないため、一般的に使われる(?)論理記号である、∧、∨、¬、⊃
への変換ができません。練習問題として掲載はされていましたが、解答を
見ても疑問は解消されておりません。
     (参考・・・真理値表)
       P  Q  P|Q
       1  1   0
       1  0   1
       0  1   1
       0  0   1

稚拙な質問で大変恐縮ですが、お知恵の拝借を賜りたく存じます。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

普通のデジタル回路の表し方ですと簡単なんですが、シェファーの棒の書き方に慣れてないので、私が理解するまで時間がかかってしまいます。
この辺に、解答らしきものがありますので、参考にしてみてください。

真理値表
http://www.aoni.waseda.jp/hhirao/logic/no10.htm
解説
http://math.artet.net/?page=3&cid=24424


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