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3辺の長さが AB=7、BC=5、CA=3√6である三角形ABCにおいて、

辺ACを直径とする円が辺AB、BCと交わる点を

それぞれD、Eとし、CDとAEの交点をFとするとき、

線分BFの長さを求めよ。

早めの解説をお願いしたいです。

gooドクター

A 回答 (3件)

>3辺の長さが AB=7、BC=5、CA=3√6である三角形ABCにおいて、



>辺ACを直径とする円が辺AB、BCと交わる点を

>それぞれD、Eとし、CDとAEの交点をFとするとき、
ACを直径とする円を描くと、AC上の円周角だから、角ADC=角AEC=90度
よって、△ADCと△AECと△CBDと△ABEは直角三角形
△AECと△ABEとで、BE=xとおくと、EC=5-x
三平方の定理より、
AE^2=7^2-x^2=(3√6)^2-(5-x)^2より、
10x=20より、x=2,5-x=3 AE^2=7^2-2^2=45より、AE=3√5
よって、BE:EC=2:3……(1)
△ADCと△CBDとで、BD=yとおくと、DA=7-y
同様に
CD^2=5^2-y^2=(3√6)^2-(7-y)^2より、
14y=20より、y=10/7,7-y=39/7
AD:DB=39/7:10/7=39:10 ……(2)

ABベクトル,ACベクトルを考えると、
(1)より、
ベクトルAE=(3/5)AB+(2/5)AC
A,F,Eは一直線上にあるから、
AF=sAEとおける
AF=(3/5)sAB+(2/5)sAC ……(3)
(2)より、
ベクトルCD=(39/49)CB+(10/49)CA
=(39/49)(AB-AC)-(10/49)AC
=(39/49)AB-AC
C,F,Dは一直線上にあるから、
CF=tCDとおける
CF=(39/49)tAB-tAC
AF-AC=(39/49)tAB-tAC
AF=(39/49)tAB+(1-t)AC ……(4)
(3)(4)より、係数比較すると、
(3/5)s=(39/49)t,(2/5)s=1-t
連立で解くと、s=13/15,t=49/75

AF=(13/15)AEより、AF:AE=13:15だから、
AE:FE=15:2
FE=(2/15)×AE=(2/15)×3√5=2√5/5
△FBEは直角三角形だから、三平方の定理より、
BF^2=BE^2+FE^2
=2^2+(2√5/5)^2
=120/25
よって、BF=2√30/5

どうでしょうか?図を描いて考えて下さい。
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AB⊥CD,AE⊥BC(半円周の円周角による)


△ABE,△ACEでBE=xとすると
AE^2=7^2-x^2=(3√6)^2-(5-x)^2(三平方の定理)
49-x^2=54-25+10x-x^2 10x=20 x=2
AE=√(7^2-2^2)=√45=3√5
∠BAE=∠DCE(円弧DEの円周角)
よって△ABE∽△ECFからAE/BE=CE/EF
EF=CE*BE/AE=(5-2)*2/(3√5)=2/√5
BF=√(BE^2+EF^2)=√{2^2+(2/√5)^2}=√(4+4/5)
=2√(6/5)=(2√30)/5・・・答え
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ACを直径とする円は△ADCおよびAECの外接円です。

ACが直径なのだから、∠ADCおよびAECは直角です。ということはFは△ABCの垂心ということになります。あとは下記をご参照下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9E%82%E5%BF%83
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