余因子 余因子展開

余因子と余因子展開についてわからない事があるので
質問させて頂きます。

前回同様の質問をさせて頂いたのですが、
解決できないので再度質問させて頂きます。
前回質問：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7527124.html

detA＝
｜1 2 3｜
｜4 5 6｜
｜7 8 9｜
とする。

第1行についての余因子展開は
detA＝
1｜5 6｜-2｜4 6｜+3｜4 5｜
　｜8 9｜ 　｜7 9｜ 　｜7 8｜
となります。

detAにおける第1行と第2列の成分をa12とします。
a12の余因子をa12＾～と表します。
a12＾～＝
-｜4 6｜
　 |7 9｜
となります。

余因子展開の場合は2がかけられますが、
余因子では2がかけられません。

この違いがよくわかりません。なぜでしょうか？
私の余因子展開の方法が間違っているのでしょうか？


以上、ご回答よろしくお願い致します。

No.6 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/14 14:44

余因子展開が何であるかは、前回質問で説明しました。

行列の成分に、その成分の余因子を掛けて、一行分
または一列分総和したものが、行列式の余因子展開です。

今回貴方が疑問視している 2 は、a12 そのものです。
a12 などに、それの余因子を掛けたものを総和するのであって、
a12 の余因子に a12 自身は含まれません。

この回答への補足

いつもご回答ありがとうございます。

＞行列の成分に、その成分の余因子を掛けて、一行分
＞または一列分総和したものが、行列式の余因子展開です。
今回でいうその成分とは、第1行にあたるa11,a12,a13ですね。
それぞれの成分にその余因子を掛けて総和することが
余因子展開なのですね。


理解できました。
ありがとうございましたm(_　_)m

補足日時：2012/06/15 01:19

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/06/14 12:34

む, 質問文と #3 への補足を組み合わせたらより一層「何を考えているのか」が分からなくなった....

「展開する行列成分に余因子をかける」ものを (さらに加えないと無意味だが) 「余因子展開」とするなら, 質問文中の A に対する「第1行についての余因子展開」において「展開する行列成分」と「余因子」はそれぞれどれに対応しますか? そして, 質問文の「余因子展開の場合は2がかけられますが、余因子では2がかけられません。」では, なぜ 8 でも 19.332 でもなく「2」なんですか?

余因子に 2 を掛けてかつ「展開する行列成分に余因子をかける」としたら, どのような式になると思いますか?

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

そもそも疑問となった発端は、余因子にあります。
余因子の総和が余因子展開だと勝手に考えていたので・・・
なぜ、余因子展開にはa11，a12，a13が掛け算の形で現れるのか
疑問に思った次第です。

alice_44さんのご回答で理解できました。

お手数をおかけしました。

お礼日時：2012/06/15 01:23

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/14 12:26

ANo.2ANo.3です。

補足について、

＞余因子展開とは、展開する行列成分に余因子をかけるという
＞認識でOKでしょうか？
それでいいと思います。

＞展開する行列成分を係数と言っているのですが、前回の質問
＞では、係数はないと言われたので、私の余因子展開が間違えて
＞いるのかと考えた次第です。
言っている意味は分かったので、説明でも同じく係数という言葉を使いましたが、
普通は「係数」という言い方はしないようです。
「第１行の成分」に余因子を掛けると言うことでお願いします。
正確には、「第１行に関する余因子展開」です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/06/15 01:24

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/14 05:13

ANo.2です。

少し訂正です。お願いします。
＞何乗になるかは、余因子ａij^～の添え字（i+j）で決まります。

済みません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

余因子展開とは、展開する行列成分に余因子をかけるという
認識でOKでしょうか？

展開する行列成分を係数と言っているのですが、前回の質問
では、係数はないと言われたので、私の余因子展開が間違えて
いるのかと考えた次第です。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/06/14 11:44

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/14 04:12

＞この違いがよくわかりません。

なぜでしょうか？
＞私の余因子展開の方法が間違っているのでしょうか？
間違ってはいないと思います。

多分detＡ＝ａ11ａ11^～＋ａ12^ａ12～＋ａ13ａ13^～と展開しようとしているのだと思いますが、
＝１×ａ11^～＋２×ａ12^～＋３×ａ13^～　が余因子展開（余因子に係数を掛けて足したもの）
ａ11^～，ａ12^～，ａ13^～が余因子です。
余因子の計算は、
ａ11^～＝（－１）^(1+1)×（５×９－６×８）
ａ12^～＝（－１）^(1+2)×（４×９－６×７）
ａ13^～＝（－１）^(1+3)×（４×８－５×７）
（－１）のべき乗で符号が決まります。
何乗になるかは、ａijの添え字（i+j）で決まります。
係数と余因子の添え字が一致するときだけ、行列式の値が求められます。
（教科書などに書いてあると思うので、確かめてみて下さい。）

どうでしょうか？計算を確かめてみて下さい。

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/06/14 03:51

ある程度かたがついたから、数学は久しぶりに。

えっと・・・。

１行２列の余因子展開してるんだね？

ん～、何故？


余因子展開と、余因子は違うよ？

余因子展開は計算の方法。

余因子は、ただの行列だよ。


大きさを求めるために（この行列のノルムを求めるため）、余因子行列を使うのなら

当然、２×（－１）＾（１＋２）　←　１行２列だからマイナスだ。

がはいるし、

１行２列　の余因子行列は？　ときかれたら、

上の掛け算は必要ないね？　余因子行列だけで構わないから。


行列の計算方法は、言葉にだまされてはいけないよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)