数学、虚数の大きさは？

Question

√（-1）＝ｉ
虚数には大きさの概念がないと聞きました。

それはどういうことなんでしょう？

定義されていない。
定義できるが意味がない。
そもそも定義すらできない。
どれなんでしょう？？？

その理由も含めて解説していただきたいです。

ta20000005 · Accepted Answer

前の方々が書いている通りなんですが、補足します。
複素数も含めてどんな集合でも必ず大小は定義できます。その意味で、どんな都合の悪い大小でも良ければ、複素数にも大小は定義できます。
しかし、ある程度便利できれいな性質をもつ大小を複素数に定めようとしてもそれはできないことが知られています。その性質とは、実数なら成り立っている以下のふたつです。
a<bならばa+c<b+c
a<bで0<cならばac<bc
これが成り立たないと移項とかで不等式を解いたりできませんから、かなり不便です。
このような大小が定義できないことを示してみます。
仮にこの性質を満たす大小が複素数にも定義できたとします。iは0ではないので、0<iかi<0のどちらかです。
0<iとすると、両辺に0より大きいiを掛けて
i*0<ii
よって0<-1となりますから、これはありえません。
するとi<0になりますから、両辺に-iを加えて
0<-i
となります。この両辺に0より大きい-iを掛けて、
-i*0<(-i)(-i)
よって0<-1となりますから、やはりこれもありえませんから矛盾します。よって、このような都合の良い大小は定義不可能であることがわかりました。
なお、先の方も書いているようにある意味数の大きさにあたる絶対値|z|は複素数でも定義できて、それは実数になるため、絶対値同士の大小比較は可能です。ただし、絶対値が等しくても複素数としては等しくならない場合は実数同様にありますが。
絶対値では特に
|a||b|=|ab|
が成り立ちます。この性質は実数でも成り立っていますが、実は数を複素数からさらに拡張する場合には、この性質も成り立つ拡張は四元数と八元数と呼ばれるものしかないことが知られています。

Mokuzo100nenn · Answer

＞上の喩で、大阪と名古屋なら、その面積で比較したら『大きさ』は決められると思いますが、それが二次元ということだと思いますが、違うのですか？

大阪や名古屋の面積はスカラー量です。
大阪や名古屋の位置をベクトルに例えたのですが、難しかったですか？

kabaokaba · Answer

>(2)虚数はこうすれば便利だとか、より一般的に数を表現できるように、考えられた、実際には存在しない数である。

ダウト．
虚数，正確には複素数，は実在する．
少なくとも「座標平面が存在する」を認めるのであれば複素数は存在する
少なくとも「多項式の割り算の余り」を認めるのあれば複素数は存在する

>そして、今現在残る疑問点は、
>(1)虚数の大きさは定義できる、と言いながらその定義が解らないこと。
>(2)大きさという言葉自体の数学的な意味がより解らなくなったとこ。

「虚数の大きさ」というのは一般には「絶対値」のことであり
a+biに対して (a^2+b^2)^{1/2}のこと
決して「定義が解らない」なんてことはないし，回答の中にも明記されています

疑問(2)に関しては，質問者が「大きさ」と「大小関係」を混同しているから．

数学では「大きさがある」ことと「大小関係」があるというのは
無関係とはいわないですが，同じではないです
くわえて「大小関係」（数学の言葉では「順序」という）にも種類があり
質問者が考えているのは順序の中でも一番性質のよい
「整列」という類のものであると思われます．

数学ではある集合に「順序」があったとしても
その集合の元の任意の組合せに順序がつけられるとは限りません．
例えば，複素数の中に「大きさ」で順序をいれたとしても
1とiは両方とも「大きさ1」なので大小関係は存在しません．

加えて，複素数は実数を含んでいるので
実数の順序を保つように複素数に順序を入れたいですが
それはできないことは回答で証明されているとおりです．

ですので
「複素数に大きさの概念はない」
というのは誤り．
ただし，「大きさの概念」というのが
ひじょうに素朴な意味で使われており
「大きさの概念がない」＝「大小関係を定義できない」というのであれば
留保条件つきで正しい．その際の留保条件は
「実数の大小関係をそのまま含むような大小関係を考える」ということです

さらにいうと・・・
どんな大小関係でもかまわないというのあれば
「任意の集合には整列順序が存在する」
という大定理が存在するので
実は複素数には「いい順序」があることはあるのです
ただし・・・具体的に1とiのどっちが「大きい」とかを計算できるわけではなくって
「ある」ということだけがわかるという・・ある意味無意味なものですが

Tacosan · Answer

例えば 2つの複素数 a+bi, c+di に対して
・a≠c ならa と c の大きい方が大きい
・a=c のとき b≠d なら b と d の大きい方が大きい
・a=c かつ b=d なら同じ
とすれば定義はできるっしょ?

zeta0208 · Answer

単に原点からの距離でで大小を決めると定義すると
-1 , 1 , i , -i は大小はなしということになります。実際　絶対値は等しいですが。

複素数というのは実数も含んでいますので大小と言った場合は実数の範囲でも成り立たなくてはいけません。
実数の -1 < 0 < 1 が成り立ち　かつ　i , -i の大小も成り立たせるのは体系的に無理ということです。
証明はANo.5さんのとおり。すばらしい！！

私見ですが、複素数というのは　何かわからないが、そこ（複素平面上）には存在している数で虚部が0の時だけ（つまり条件付きで）大小が存在するとイメージしています。

Mokuzo100nenn · Answer

実数や整数など、一次元で考えられる数値に関しては大小の定義が簡単です。
しかし、複素数（虚数）は実部と虚部をもった二次元と考えると、大小の定義自体が難しくなりますね。

東京タワーよりもスカイツリーの方が高いというのは、簡単ですね。高さという一次元で比較するかです。

では、大阪という場所と、名古屋という場所は、どちらが「大きい」ですか？　
これには答えられないのですよ。

それは緯度と経度という二次元で場所を示しているからです。

tknakamuri · Answer

>虚数には大きさの概念がない

虚数の大小関係は定義されていませんが
絶対値は定義されています。

絶対値を「大きさ」とすれば、
大きさの概念はあることになります。

Tacosan · Answer

「実数に対する大小関係の持つ性質」を維持したまま虚数には適用できない, ということ.

定義するだけならできる.

info22_ · Answer

大小関係は実数における概念です。
なので虚数は現実には存在しない数ですので大小関係を定義しても意味がない。ということでしょう。なので定義されていません。

ここで、実数も正負の数があり、絶対値（実数の符号を取り除いた数）が定義されてるように、複素数（虚数）にも絶対値は定義されています。

「1+3i」と「2-i」との大小関係の比較はできない（しても意味がない）が、

絶対値（実数）の大小関係の比較なら可能です。
　|1+3i|=√10＞|2-i|=√5

naclav · Answer

「二乗するとマイナスになる」という概念でさえあれば充分だから。

「二乗すると大きなマイナスになる」という状況を作りたければ
虚数と「大きな実数」を掛け合わせればいいので。

数学、虚数の大きさは？

前の方々が書いている通りなんですが、補足します。

この回答への補足

＞上の喩で、大阪と名古屋なら、その面積で比較したら『大きさ』は決められると思いますが、それが二次元ということだと思いますが、違うのですか？

>(2)虚数はこうすれば便利だとか、より一般的に数を表現できるように、考えられた、実際には存在しない数である。

例えば 2つの複素数 a+bi, c+di に対して

単に原点からの距離でで大小を決めると定義すると

この回答への補足

実数や整数など、一次元で考えられる数値に関しては大小の定義が簡単です。

>虚数には大きさの概念がない

「実数に対する大小関係の持つ性質」を維持したまま虚数には適用できない, ということ.

大小関係は実数における概念です。

「二乗するとマイナスになる」という概念でさえあれば充分だから。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング