ネットが遅くてイライラしてない!?

1/x^3-1 の積分の問題がわかりません。
部分分数で
 1/x^3-1=(1/(x-1)-(x+2)/x^2+x+1)*1/3・・・・・・・(1)
=1/3*1/x-1 - 1/6*(2x+1)/x^2+x+1 - 1/2*1/(x+1/2)^2+(√3/2)^2・・・・・・・(2)

として計算するようなのですが
(1)~(2)に分ける仕方がよくわかりません。

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A 回答 (2件)

そんな奇妙な分けかたをするから、解からないのです。


x^3-1 は根が全て単根なのだから、素直に
1/(x^3-1) = A/(x-1) + B/(x-ω) + C/(x-ω^2) と置きましょう。
ω は 1 の虚三乗根のひとつ。
ω = (-1+i√3)/2 でも、ω = (-1-i√3)/2 でも、どちらでも構いません。

式の両辺に (x-1) を掛けて x→1 の極限をとる。
式の両辺に (x-ω) を掛けて x→ω の極限をとる。
式の両辺に (x-ω^2) を掛けて x→ω^2 の極限をとる。
…を各々行えば、定数 A,B,C の値が判ります。

後は、積分して
∫dx/(x^3-1) = A∫dx/(x-1) + B∫dx/(x-ω) + C∫dx/(x-ω^2)
の右辺を計算・整理すればよいです。
∫dx/(x-a) = log(x-a) は、習いましたよね?

答えの式に虚数の係数が残ることに心理的な抵抗があるなら、
オイラーの等式 e^(iy) = (cos y) + i(sin y) でも使って
適当に変形すればよいでしょう。(気持ちの問題ですが…)
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この回答へのお礼

解決しました!!
ご丁寧にありがとうございます!

お礼日時:2012/06/22 13:55

1/(x^3-1) =a/(x-1) +(bx+c)/(x^2+x+1)


とおいてa=1/3 , b=-1/3 , c=-2/3
を求めて(1)
(2)は
(x+2)/(x^2+x+1)の部分はこのままでは公式が使えないので,分子を
(1/2)(2x+1)+(3/2)
に分けています。
使う公式は
∫1/(x-1)dx=log|x-1|
∫(2x+1)/(x^2+x+1)dx=log|x^2+x+1|
∫1/(x^2+x+1)dx=∫1/{(x+1/2)^2 +3/4} dx=(2/√3)arctan(2/√3)(x+1/2)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

解決しました^^

お礼日時:2012/06/22 13:55

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答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)


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