大学積分

1/x^3-1 の積分の問題がわかりません。
部分分数で
　1/x^3-1=(1/(x-1)-(x+2)/x^2+x+1)*1/3・・・・・・・(1)
=1/3*1/x-1 - 1/6*(2x+1)/x^2+x+1 - 1/2*1/(x+1/2)^2+(√3/2)^2・・・・・・・(2)

として計算するようなのですが
(1)～(2)に分ける仕方がよくわかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/18 19:09

そんな奇妙な分けかたをするから、解からないのです。

x^3-1 は根が全て単根なのだから、素直に
1/(x^3-1) = A/(x-1) + B/(x-ω) + C/(x-ω^2) と置きましょう。
ω は 1 の虚三乗根のひとつ。
ω = (-1+i√3)/2 でも、ω = (-1-i√3)/2 でも、どちらでも構いません。

式の両辺に (x-1) を掛けて x→1 の極限をとる。
式の両辺に (x-ω) を掛けて x→ω の極限をとる。
式の両辺に (x-ω^2) を掛けて x→ω^2 の極限をとる。
…を各々行えば、定数 A,B,C の値が判ります。

後は、積分して
∫dx/(x^3-1) = A∫dx/(x-1) + B∫dx/(x-ω) + C∫dx/(x-ω^2)
の右辺を計算・整理すればよいです。
∫dx/(x-a) = log(x-a) は、習いましたよね？

答えの式に虚数の係数が残ることに心理的な抵抗があるなら、
オイラーの等式 e^(iy) = (cos y) + i(sin y) でも使って
適当に変形すればよいでしょう。(気持ちの問題ですが…)

この回答へのお礼

解決しました!!
ご丁寧にありがとうございます!

お礼日時：2012/06/22 13:55

No.1 回答者： 151A48 回答日時： 2012/06/17 19:34

1/(x^3-1) =a/(x-1) +(bx+c)/(x^2+x+1)

とおいてa=1/3 , b=-1/3 , c=-2/3
を求めて（１）
（２）は
(x+2)/(x^2+x+1)の部分はこのままでは公式が使えないので，分子を
(1/2)(2x+1)+(3/2)
に分けています。
使う公式は
∫1/(x-1)dx=log|x-1|
∫(2x+1)/(x^2+x+1)dx=log|x^2+x+1|
∫1/(x^2+x+1)dx=∫1/{(x+1/2)^2 +3/4} dx=(2/√3)arctan(2/√3)(x+1/2)

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

解決しました＾＾

お礼日時：2012/06/22 13:55