フーリエ級数展開の周期について

フーリエ級数の例題では、よく区間[-π,π]で定義された周期２πの関数が使われています。
しかし、問題で「区間[-π,π]で定義された、周期が２πでない関数(たとえばf(x)=cos(kx))」が登場した場合はどうすればよいのでしょうか？
通常通りフーリエ係数の積分区間を[-π,π]として計算していけばいいのか、それとも積分区間の取り方などに一工夫加えなければならないのか・・・。
どのように解けばよいのでしょうか？

また、フーリエ級数展開を適用する関数は必ずしも周期関数である必要があるのでしょうか？

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/21 14:00

フーリエ変換の場合は周期はなくても構わない(この書き方は正確ではない)が、フーリエ級数の場合は基本周波数がもとの関数の周期で表されます。

cos(x)であれば[π,-π]で基本周波数2π/Tと定義すれば、cos(kx)の場合は周期がk分の1となるため、基本周波数が2π/kTになります。つまり、高次の周波数は2πn/kT(nは整数)で表されることになります。

以上でよろしいでしょうか？基本的には周期1つ分で考えます。

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/06/21 13:55

フーリエ係数は

an = (1/π)∫[-π->π] f(x) cos nx dx

ここで周期をTとしてx=2πt/Tと変数変換すれば

an = (2/T)∫[-T/2->T/2] f(t) cos (2πn/T)t dt

と、この形でフーリエ係数を求めます。サイン関数のほうも同じ。

>また、フーリエ級数展開を適用する関数は必ずしも周期関数である必要があるのでしょうか？

そういうことです。周期関数ではない場合、絶対可積分であればフーリエ変換が使えます。

絶対可積分でもない場合は、一部切りとってむりやり周期関数にして級数展開します。当然切り取りの効果が入ってきますので要注意で、その効果を少なくするために窓関数と言われる両端で0になるような関数をかけたりします。

計算機上でフーリエ変換と称しているものは事実上離散フーリエ級数展開なので、切り取りの効果は避けられません。

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/21 09:06

お書きになったとおり、「フーリエ級数は (たとえば) 区間 [-π,π] で定義された周期２πの関数」の級数表示です。

f(x)=cos(kx) ならば、(たとえば) 区間 [-π,π] での cos(kx) を想定して求めるべき。
区間 [-π,π] での波形を繰り返すとみなして級数展開する手法であり、「フーリエ級数展開を適用する関数は、必ずしも周期関数である必要」はない。

質問の主旨をつかみ損なってるでしょうけど、とりあえず…。
　　　

No.2 回答者： tadys 回答日時： 2012/06/21 05:18

窓関数について調べなさい。