複素数の絶対値の変形について

｜１－e^(ikl)｜=2｜sin(kl/2)｜　になるとテキストに書いてあるのですが、
どうしてこうなるのか、わかる方いらっしゃいますか？

No.6 回答者： tanuki4u 回答日時： 2012/06/21 18:19

No4さんへ

Iがなくてすみません。


閑話休題
私の高校の頃４０年近い前になりますが、高校の数学の教科書から極座標が消えました。
その前は極座標があったそうだ。

んで　参考書なんかを見ると、「極座標があれば分かりやすいのにねぇ　BY　講師」なんて説明があった。

今電気工学を趣味でやているが、電気工学ってのは極座標が分かると、単なる数学の問題でしかない部分もある。

複素数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0

ここにあるように　役に立たないと思われたが（16世紀）19世紀の実学では必須になる。
リーマン幾何学なんかも、数学者の妄想とか言われたけど、それがないと　物理学が語れない

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/06/21 17:10

#3のものです。

少し修正。
|1-e^(ikl)|=|{e^(-ikl/2)-e^(ikl/2)}/e^(-ikl/2)|
=|{e^(-ikl/2)-e^(ikl/2)}/(2i)|*|2i|/|e^(-ikl/2)|
=|-sin(kl/2)|*2/1
=2|sin(kl/2)|

まあ、絶対値記号||が付いているので元の式が即間違いというわけではないのですが修正しておきます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。助かりました。＾＾

お礼日時：2012/06/21 17:34

No.4 回答者： zeta0208 回答日時： 2012/06/21 16:46

ANo.2の方

オイラーの公式は
e^(i・kl)　＝　COS(kl)＋i・SIN（kl）　ですよ。

iを書き漏らしています。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます＾＾

お礼日時：2012/06/21 17:17

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/06/21 16:06

|1-e^(ikl)|=|{e^(-ikl/2)-e^(ikl/2)}/e^(-ikl/2)|

=|{e^(-ikl/2)-e^(ikl/2)}/2|*2/|e^(-ikl/2)|
=|-sin(kl/2)|*2/1
=2|sin(kl/2)|

No.2 回答者： tanuki4u 回答日時： 2012/06/21 16:04

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …

オイラーの公式
e^(ikl)　＝　COS(kl)＋SIN（kl）

WIKIの　オイラーの公式の幾何的な表示にそって

１－e^(ikl)　を表示すると

X,Y　＝　（１．０）（ｐ点とする）　を中心とした　半径　１　角度　kl の円の上を動きます。

｜１－e^(ikl)｜とは　原点　O　から円上の任意の点　Q　までの距離となります。
点Qと　原点を結ぶと　X軸とその任意の点が作る角度は　kl/2 となります
角度　POQ　＝　kl/2

点Pから　線分　OQに　垂線を引き、その交点を　R　とすると
線分　OR　の長さは　sin(kl/2) であり　線分　OQ　は　ORの二倍であることが分かる

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。幾何学で考えようとしたのですが、1-e^(ikl)を、違うようにとらえてしまっていました。もう一度複素数について復習しなければなりませんね＾＾；勉強になりました！

お礼日時：2012/06/21 17:11

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/21 15:57

地道に公式を当てはめて

｜１－e^(ikl)｜=|(1 - cos(kl)) - sin(kl)i| = √((1-cos(kl))^2+sin(kl)^2)
= √((2-2cos(kl))=√(2)√(1-cos(kl))=√(2)√(2sin(kl/2)^2)=2|sin(kl/2)|

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。公式に当てはめてやっていたのですが、１行目から２行目に行くところが思いついていなかったです。助かりました＾＾ありがとうございました。

お礼日時：2012/06/21 17:08