オイラーの公式の証明をしたいのですが、マクローリン展開を用いた証明方法がわかりません。

もし、証明がわかる方いましたら教えて下さい。
また、わかりやすいサイトなどでも構わないです。

すみませんが宜しくお願いします。

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A 回答 (5件)

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オイラーの時代には、複素関数についても、級数の収束性についても、


今日のような解析学の基礎が整備されていなかったし、
オイラー自身がそれを完成させたという話もありません。
(ほぼ今日の解析学に近いものを使っていた とは信じられていますが。)
オイラーとコーシーの生没年を確認してみるとよいかもしれませんね。

オイラーの等式についても、オイラー自身は成立を予想しただけで、
証明されたのは後日のことです。(オイラー本人には、式変形に
証明が必要という概念すらなかったのではないかと思われます。)
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オイラー入門


出版社: シュプリンガーフェアラーク東京 (2004/07)
ISBN-10: 4431710795
ISBN-13: 978-4431710790
発売日: 2004/07
を読むことをお勧めします。

バーゼル問題の解き方とか、オイラーの公式とか cosx=2 の解き方とか √(a+bi)はどうなるかとか i^iはどうなるとか いろいろ面白ネタ満載で初歩としては読みやすいと思いますよ。

もちろんご質問のe^iθ=cosθ+isinθをオイラーがどのように導いたか複数証明してあります。
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博士の愛したオイラーの等式のほうの話なら、


A No.2 のふたつめのリンク先が
A No.1 の言う「厳密性を無視して代入整理するだけ」
の説明になっています。
ちゃんと証明するには、exp, cos, sin それぞれの
収束半径が∞であることを示して、
巾級数の収束が収束円内では絶対収束であることから、
総和順を変更したり、部分級数の極限をとったりすることが
許されることを説明する必要があるでしょう。
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厳密性を無視すれば「代入して整理する」だけ.

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Q冪級数展開 マクローリン展開 テーラー展開

冪級数展開とはテーラー展開とマクローリン展開の総称だと思っていました。

知人によれば、冪級数展開はマクローリン展開と同じ意味でテーラー展開とは
違うと言っていました。

私は、マクローリン展開はテーラー展開のx=0つまり、原点中心の級数展開だから
どちらも同じように思っています。

冪級数展開とはマクローリン展開のことを指すのでしょうか?
テーラー展開のことは冪級数展開とは言わないのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

逐語的に冪/級数/展開と考えると、テイラー展開を指すみたいですが、
実際に「冪級数展開」と呼ばれているのは、マクローリン展開です。
いくつか本を読んでみれば判りますよ。

Qマクローリン展開・テーラー展開の話が載ってるHP

こんにちは☆理系の大学1年生です。
来週微積のテストがあるので友達と明日から数日間勉強会を開く予定なのですが、マクローリン・テーラー展開の辺りをやるときに、私は既にわかるのですが(高校の時やっていたので)友達の中には微積もこの間習ったばかりと言う子もいて上手に説明あげたいと思っています。私が目の前で解いて説明してあげればいいのですが、それだけでわかってくれるか不安なので参考にできるHP等あれば教えてください。
自分でも一応検索してみたのですがなかなか良いのが見つからなくて・・・私の検索の仕方が悪いのかも知れませんがm(_ _)m

Aベストアンサー

こんなサイトもありますが,いかがでしょうか。

・http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math00.html
 やさしい数学講座
 「第18章 展開、展開、大展開~~!!」

・http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/index.html
 解析学参考資料
 「Taylor 級数」

 ご参考まで。

参考URL:http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math00.html, http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/index.html

Qマクローリン展開と不等式の証明

(1)関数e^(-x)にマクローリンの定理をあてはめた式を書け

(2)上を用いて、mを2以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/(2m)!
が成立する事を示せ。

(3)mを3以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/500
が成立する事を示せ。

という問題なのですが
(1)はΣ(n=0~∞)(-1)^n/(n!)*x^nと解けて

(2)は数学的帰納法で解こうとしてe^(-1)を(1)で求め
式にx=1を代入してn=5までの値で近似して
(i)m=2の時それぞれの値の差をとって成り立つことを
証明できたのですが
(ii)mの時 不等式は成り立つとして
m+1の時も成り立つので不等式は成り立つと
証明したかったのですが良く分からなくて解けませんでした。

(3)については(2)と同様に解こうとしたのですが
良く分からなくて解けませんでした。
アドバイスよろしくお願いします。

(1)関数e^(-x)にマクローリンの定理をあてはめた式を書け

(2)上を用いて、mを2以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/(2m)!
が成立する事を示せ。

(3)mを3以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/500
が成立する事を示せ。

という問題なのですが
(1)はΣ(n=0~∞)(-1)^n/(n!)*x^nと解けて

(2)は数学的帰納法で解こうとしてe^(-1)を(1)で求め
式にx=1を代入してn=5までの値で近似して
(i)m=2の時それぞれの値の差をとって成り...続きを読む

Aベストアンサー

#1さんの答ですべて尽くしていると思いますが、念のため。
マクローリンの定理では
(1)の答は仰るような無限級数ではなく、有限数列の和になります。
従ってe(-x)=Σ(k=0~n-1)(-1)^k/(k!):x^k+e^(-θn)/(-x)^n
ただし0<θ<1、となります。
ただ、これも、無限級数の方もどちらもマクローリン展開と呼ぶ場合があるようで、マクローリン展開して云々、と言う問題だとそういう混乱も生じたでしょうが、マクローリンの定理には無限級数はありませんからね。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/040ksk.html

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マクローリン展開のことが、
「マクローリン式の展開」として書かれており、
関数のベキ級数展開を普及させる
契機となりました。

しかし、
テイラーが参照したマクローリンの論文には、
今日言うところの、テイラー展開のことが
書いてあったのです。

名前が入れ替わってしまったことになります。
面白いですね。


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