数字I.II 軌跡の問題です。困っています。

条件
x.y平面において、放物線C:y= x^2 + ax + b（a.bは実数）の頂点をP（p.q）とする。放物線Cは、直線 y=2xと異なる2点で交わり、その2点間の距離は4である。

問 Cが上記条件を満たす様に、実数a.bを変化させるとき、点Pの軌跡を求めよ。

解らずに、困っています。
宜しくお願い致します。

No.5 回答者： bara2001 回答日時： 2012/06/23 01:01

No1です。

捕捉します。

直線 y=2xは確定した直線で座標上で動くことはありません。
放物線C:y= x^2 + ax + bはａｂの値によって座標上を動きますが、x^2の係数が1と固定されているので、ａｂをどんなにいじってもy= x^2 のグラフを座標上で平行移動するだけのことになります。

直線 y=2xに対して、放物線y= x^2 をいろいろ平行移動させてみればわかりますが二つの交点の距離が4であるという条件で、ａｂの関係が一意に決まることがわかります。
まあこれはグラフを見て直感的にわかることなので、あとで論理的に証明する必要がありますが。

視覚的にそこまでわかると、頂点Ｐというのは直線 y=2xと一定の距離を置いて直線 y=2xと並行する軌跡を取ることもグラフから見てとれます。
ま、これもあとで論理的に証明する必要がありますが。

普段からグラフを描く作業に慣れていれば、頭の中だけでこうしたことを瞬時に気づきます。
パラメータをいじった時のグラフの変化が頭の中だけでイメージできるようになれば、高校数学はすごく楽になりますよ。
最初に解答までの方針がわかっていて、あとは証明するだけですから。
そのためにも日常の勉強ではどんどんグラフを描いてください。

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/22 19:14

x.y平面において、放物線C:y= x^2 + ax + b（a.bは実数）……（１）の頂点をP（p.q）とする。

放物線Cは、直線 y=2x　…点（２）と異なる2点で交わり、その2点間の距離は4である。
＞問 Cが上記条件を満たす様に、実数a.bを変化させるとき、点Pの軌跡を求めよ。
（１）より、
ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ
＝（ｘ^2＋ａｘ＋ａ^2／４）－（ａ^2／４）＋ｂ
＝（ｘ＋ａ／２）^2－ａ^2／４＋ｂ
頂点をP（p.q）だから、ｐ＝－ａ／２，ｑ＝－（ａ^2／４）＋ｂ　
これより、ａ＝－２ｐ，
ｂ＝ｑ＋（ａ^2／４）
＝ｑ＋(1/4)（－２ｐ）^2
＝ｑ＋ｐ^2　……（３）

（１）と（２）の交点をＡ，Ｂとすると、Ａ，Ｂは（２）上の点だから、
Ａ（ｘ1，２ｘ1）．Ｂ（ｘ2，２ｘ2）とおける。（ｘ1＜ｘ2）
２ｘ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂより、ｘ^2＋（ａ－２）ｘ＋ｂ＝０
ｘ1，ｘ2は、この方程式の異なる２解だから、
解と係数の関係より
ｘ1＋ｘ2＝－ａ＋２，ｘ1ｘ2＝ｂ　……（４）
Ａ，Ｂの２点間の距離は４だから、
（ｘ2－ｘ1）^2＋（２ｘ2－２ｘ1）^2＝４^2
（ｘ2－ｘ1）^2＋４（ｘ2－ｘ1）^2＝１６
よって、（ｘ2－ｘ1）^2＝１６／５　……（５）
（ｘ2－ｘ1）^2＝（ｘ1＋ｘ2）^2－４ｘ1ｘ2　
（４）（５）より、代入して
１６／５＝（－ａ＋２）^2－４×ｂ　……（６）
（３）を（６）に代入して
１６／５＝（２ｐ＋２）^2－４（ｑ＋ｐ^2）
１６＝５×４（ｐ＋１）^2－５×４（ｑ＋ｐ^2）より、
４０ｐ－２０ｑ＋４＝０だから、１０ｐ－５ｑ＋１＝０
よって、Ｐの軌跡は、１０ｘ－５ｙ＋１＝０

になりました、どうでしょうか？

No.3 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/06/22 19:11

方針だけじゃ、駄目だよね。

実際に解かないと....
計算苦手だから、計算したくないんだよなぁ～（平気で計算を間違える!!）

まず、C:y = x^2 + ax + bとy = 2xの交点を求める。
x^2 + ax + b = 2x
x^2 + (a-2)x + b = 0
この２次方程式の解α、βとすると、
解と係数の関係より
α+β = -(a-2)
αβ = b

C:y = x^2 + ax + bとy = 2xの交点をQとRとすると、この２点はy=2x上にあるので
Q（α,2α)、　R（β,2β）
QR^2 = (β-α)^2 + (2β-2α)^2 = 5(β-α)^2 = 5{(β+α)^2 - 4αβ}　　（※）
= 5{(a-2)^2 - 4b} = 4^2 = 16
よって
b = (1/4)*(a-2)^2 - 4/5

また、二次方程式の判別式Dは
D = (α＋β)^2 - 4αβ = (β-α)^2 = 16/5 > 0　　　　（※の部分）
なので、αとβは相異なる実数解である。

y=x^2 + ax + b
=(x+a/2)~2 -(a/2)^2 + b
二次関数の頂点P(p,q)は
p = -a/2　　　　　　（a = -2p)
q = -(a/2)^2 + b　= -(a/2)^2 + (1/4)*(a-2)^2 - 4/5 = -p^2 + (p+1)^2 - 4/5
= 2p + 1/5


僕は平気で計算を間違えるから、自分でちゃんと計算をしてよね。
これは参考程度に。
うかつに信じると、泣きをみるよ。

No.2 回答者： f7d84xh 回答日時： 2012/06/22 18:40

まず「放物線Cは、直線 y=2xと異なる2点で交わり」という条件を式にします。

交点の座標は放物線Cと直線y=2xを連立させて解くと、aとbの式の形で求められます。解の公式を用いることになります。

先にｘを求めて、ｙ＝２ｘに代入するとよいでしょう。解の公式を用いるので、やや複雑な式となります。

ここで条件の通り、交点の座標が2つ存在する、という不等式をつくります。いわゆる判別式です。

ルートの中身が0でない正の数となればよいので、

(a-2)^2-4b>0　という式となるはずです。これはaの二次関数で、下に凸なので、頂点のｙ座標が0より大きいという式に変換できます。つまり

-4ｂ>0
b>0　(1)

さらに求めておいた交点同士の距離が4という条件の式を作ります。最終的に

(a-2)^2-4b-16/5=0　(2)　　という式ができます。

これでaとbの束縛条件が出揃いました。あとはabとpqの関係式をもとに、pqの挙動を調べます。

abとpqの関係は、放物線Cの頂点がPであるという条件から導けます。つまり

p=a/2
q=b-(a^2)/4

これらを変換・代入して

a=2p
b=p^2+q

これらと(1)を連立させて
p^2+q>0 (3)

同様に(2)と連立させて
q=-2p+1/5　(4)

(3)と(4)を連立させて・・・やや複雑なｐに関する不等式ができます。

結論は、ある部分を除いた(4)的な直線、となります。

計算ミスがあるかも知れませんし、複雑な部分は書かなかったので、これにそってご自分で計算してみてください。

No.1 回答者： bara2001 回答日時： 2012/06/22 18:33

放物線が直線と２点で交わるというのであれば、その２点のｘ座標は次の方程式の解になります。

　2x= x^2 + ax + b　…(1)

そして傾きが2である直線 y=2x上で２点間の距離が4であるということは、２点のｘ座標の差は４／√５になります。
(1)を解の公式で解いて、二つの解の差が４／√５になるように式を立てればａとｂの関係式が決まります。　…(2)

頂点Ｐについては、放物線C:y= x^2 + ax + bを平方完成させれば、ｐとａｂの関係式、ｑとａｂの関係式がわかります。
(2)によりｂはａで表すことができるので、これはつまりｐとａの関係式、ｑとａの関係式ということができます。
するとｐもａで表すことができ、ｑもａで表すことができるので、片方の式のａをもう一方の式に代入すればｐとｑの関係式ができます。

あとはご自分で計算してください。
この手の問題は、わからなければとにかグラフを描きまくって考えることです。
描きまくっているうちに、グラフには実にいろんな情報が詰まっていることが理解できます。