ここから質問投稿すると、最大4000ポイント当たる!!!! >>

掃き出し法について質問させて頂きます。

掃き出し法を行う場合に、基本的には行基本変形を行なって、
階段行列ないし単位行列を求めますが、列基本変形を行なっても
同じになるのはなぜでしょうか?


また、行基本変形を行って、その後、列基本変形を行うというような
基本変形を行と列でちゃんぽんして計算しても良いのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

う~ん。


行列の階数を定義するのに、基本変形を用いた
階段化を経由するテキストは意外に多い。
演習問題との絡みで、具体的な行列の階数を
計算するためには、そのタイプの定義が解りよい
っちゃ解りよいのだけれど…
線型写像を表現するものとしての行列の性質を
理解するためには、像空間の次元だとか、
非零小行列式の次数だとかによるほうがスジがよい
ように思えてならない。
階段行列を使っても、厳密さに支障は無いけれども。

一次方程式を解く際に、行基本変形だけ使って
完了できることは、ガウスの消去法にも見えるとおり。
列基本変形を併用する上での注意点は、前述の如く、
列変形を行うと、もとの各未知数が行番号に対応
しなくなるから、最後に列変形を逆にたどって
未知数の値を復元しなければならなくなるってこと。
そこを間違えなければ、列変形を使っても構わない。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

いつもご回答ありがとうございます。

>列基本変形を併用する上での注意点は、前述の如く、
>列変形を行うと、もとの各未知数が行番号に対応
>しなくなるから、最後に列変形を逆にたどって
>未知数の値を復元しなければならなくなるってこと。

理解できました。

お礼日時:2012/07/03 10:20

>例


>1 1 1
>0 0 1
>0 0 2
>にういてですが、
>行基本変形だけで計算すると
>1 1 1
>0 0 1
>0 0 0
>でrankが2になると思います。

これはひと目で1行目と2行目が一次独立なのが明らかなので
2 であることは明らかなんですが、rank を 2 と判断する明確な基準が
ないですよね。

上三角化でよくやる rank の判断のやりかたは

1 X X X ・・・
0 1 X X ・・・
0 0 1 X ・・・

という形がどこまで基本変形で伸ばしてゆけるかです。


1 1 1
0 0 1
0 0 2

1 1 1
0 1 0
0 2 0

1 1 1
0 1 0
0 0 0

としてここでストップなので 2

1 0 0 0 ・・・
0 1 0 0 ・・・
0 0 1 0 ・・・

という標準形に基本変形でどこまで伸ばしてゆけるかという流儀もあります。
私の学んだ本はこれで rank を厳密に定義してました。

いずれにしても、線形代数の入門書を読むことをお薦めします。
たいていの線形代数の入門書では、基本変形とrank を
セットにして解説してあることが多いです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

いつもご回答ありがとうございます。

rankの厳密な定義を知りませんでした。
線形代数の参考書を当たってみます。

ありがとうございました。

お礼日時:2012/07/01 00:27

>行基本変形と列基本変形では共に同じ階数の階段行列になると


>認識しています。

この階数って rank のこと? そうなら 基本変形は rank を変えないので yes ですが、

但し、ここでいう階段行列が
1) 対角成分は非ゼロ
2) 行の対角成分より前の成分は0にする。
3) 但し、最後の0以上の行は0ベクトルでよい

という意味なら、
#本来の階段行列の定義はこんなものではないのですが・・・


行基本変形だけでは階段化の手順が止まる場合があります。



1 1 1
0 0 1
0 0 2

なので階段化は列基本変形を併用する必要があります。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

階数はrankのことです。
行基本変形と列基本変形を併用して解いても問題ない
という事でしょうか?
今まで、いくつか問題に当たりましたが全て行基本変形だけで
解けました。



1 1 1
0 0 1
0 0 2
にういてですが、
行基本変形だけで計算すると
1 1 1
0 0 1
0 0 0
でrankが2になると思います。

列基本変形を使えばどのようになるのでしょうか?
うまく解けませんでした・・・


以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2012/06/30 22:00
    • good
    • 0

一次方程式を解くのに列基本変形を使うってことは、


変数変換をするってことだから、
後で、もとの未知数に戻す作業が必要になる。
掃き出し法で数値計算上の精度を維持するためには
ピボット選択が欠かせないが、
ピボット選択だけでも、未知数の復元は必要になるから、
ついでに列変形まで組み込んでしまっても、
たいして面倒は増えないのかもしれない。
行変形だけで掃き出し法は実行できるから、
あえて列変形を使う理由も無いのだけれど。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私もいくつか問題に当たってみましたが、
全て行基本変形で解を導けました。

列基本変形を使った方が計算がラクになる場合が
あるのではと考えてこちらに質問させて頂きました。

お礼日時:2012/06/30 13:43

掃きだしで列基本変形と行基本変形では違う階段行列ができると思いますが・・・


そもそも行では普通上三角に、列では下三角にしません??
もちろんどう変形するのも自由ですけど・・・「同じ」というのは
どのような意味合いなのでしょう?

任意の正則な行列は
列または行の基本変形行列の積に分解できることが証明されています。
なので正則な行列なら、その逆行列も正則ですから、
列または行の基本変形を組み合わせで単位行列へ変形できます。

>基本変形を行と列でちゃんぽんして計算しても良いのでしょうか?

列順を気にするような掃きだし(たとえば方程式の係数行列)の場合は
列基本変形の内容を覚えておく必要があり面倒なことになります。
そうでなければ問題ありません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

行基本変形と列基本変形では共に同じ階数の階段行列になると
認識しています。
同じというのは、階数が同じと言う意味で使っています。
行基本変形と列基本変形では、階段行列の階数も異なるのでしょうか?

列基本変形を考えた理由は、列について計算を進めたほうが計算が
ラクな場合はあるのでは?と考えたからです。

階段行列を求める際、行基本変形で計算を進めますが、途中列で
計算した方がラクな場合に列基本変形を用いても良いのか?
と疑問に思いました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2012/06/30 15:03
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。1+1=2と1+1+1-1+1-1+1-1=2が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
(3)単位行列になるまで(1)~(2)を繰り返す。
※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。

Q掃き出し法のやり方

先日学校で掃き出し法をならったんですがやり方がいまいちわかりません。

x+2y+3z=4   例えばこの連立方程式を掃き出し法で解くなら
2x+3y-z=-2    どうすればいいでしょうか?
3x+4y-2z=-5  どなたか分かりやすく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

[例えばこの連立方程式を掃き出し法で解くなら
どうすればいいでしょうか?]
ですか。参考程度に

x+2y+3z=4 ←これ基準にxを消す。  
2x+3y-z=-2    
3x+4y-2z=-5 

x+2y+3z=4 ←xの係数1は変えないように 
0+y+7z=10 ←これ基準にyを消す。 
0+2y+11z=17

x+0-11z=-16 ←xの係数1は変えないように 
0+y+7z=10  
0+0-3z=3  ←これ基準に直す。

x+0-11z=-16 ←yの係数1は変えないように
0+y+7z=10  ←yの係数1は変えないように
0+0+z=-1   ←これ基準にzを消す。

x+0+0=-27
0+y+0=17
0+0+z=-1

ということですか。参考になるかどうか。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Qテイラー展開とべき級数展開の違いは何ですか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0

ずっとテイラー展開とべき級数展開は同じものであると思っていたのですが、
上記のページをみると
「第1種ベッセル関数はまた、X=0のまわりでのテイラー展開(非整数の に対しては、より一般にべき級数展開)によって定義することもできる。」
と書かれているのですが、
テイラー展開とべき級数展開ってどう違うのでしょうか?

Aベストアンサー

結論から言うと,その記事の言葉の用法がマイナーで,
通常は(原点中心の)テイラー展開とべき級数展開は同じ意味で使われます.

その記事のその部分では,ベッセル関数の級数展開がαが非整数だと
テイラー展開になっていない,ということを注意したかったのだと思います.
しかし,現状では不正確な書き方になっていて,
 (1) 負の整数に対してもテイラー展開にならない.
 (2) 非整数べきの現れる級数を単にべき級数と呼ぶことは少ない.
という2点を考慮して,適当に直すべきです.

ちなみにその記事は,英語版の記事を和訳したものですが,英語版では
 (a) 該当部は単に Taylor series expansion となっている.
 (b) integer or non-integer のコメントは,この文でないところに入っている.
という状況になっています.
きっと和訳した人が (a) はマズイと思って補足したのでしょうが,
そのときに (b) を誤って取り入れてしまい,こんなことになったのだと思います.

Qブリッジ回路の真ん中の電圧の求め方

             a
            /\
          R1   R2
     __/        \___   
     ↑   \      /    ↓
     ↑     R3  R4      ↓
     ↑      \/        ↓
     ↑      b          ↓
     ↑____E(V)_____↓

R1R4=R2R3だった場合ab間に電圧が流れませんが、もしこれが成り立たなかった場合ab間の電圧Eoはどのような式になるのでしょうか?
私が自分でやったこと
キルヒホッフで3個式作ろうとしたが作り方がわからなかった
あと合成抵抗を出して上の電流と下の電流の差からオームを使って出そうとしたけどできませんでした><

ab間の電圧Eoの求め方教えてください
参考URLなどあればそちらも教えてください

Aベストアンサー

同じ電流が流れるRの直列回路の電位(差)は抵抗比に比例することを使って下さい。

aの電位va=E*R2/(R1+R2)
bの電位vb=E*R4/(R3+R4)
この電位の差がEoになります。
Eo=va-vb

なぜこうなるかを考えて見てください。

Q京都大学大学院のレベルわどのくらいのレベルですか?

京都大学大学院のレベルわどのくらいのレベルですか?

Aベストアンサー

京大は学部があって、その上にある院はそれなりに難関です。内部生でも結構普通に落ちてます。院でやる内容と大学受験の内容と違うのだからそういうことも十分にありえます。ただ、内部生が優位なことは確か。あと、下に学部のない大学院だけの院はそれよりは易しいですが、行っても将来が厳しいだろうな。

Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
これを上式(1)のように微分すれば、F = -kxとなります。重力にしても同様に求まります。
ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δy, Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとる...続きを読む

Q他大学大学院の受験校は何校くらいが一般的?

質問はタイトル通りです。現在、大学3年で理系学部に所属しています。
研究テーマや経済的な理由で他大学大学院を受ける予定です。
人それぞれだとは思いますが、経験された方が実際に何校受験されたのか教えて頂きたいと思います。春休み中に見学に行って、受験に関する話や研究テーマに関する話を聞く予定で参考にしたいと思うので、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私は、今他大学の大学院に進学しています。
私は2校受けました。あまり多いとその勉強で結構時間がとられる気がします。同じ分野の学科を受けたとしても結構出題分野はばらばらです。
また、研究テーマが何より大事ですが、研究室の雰囲気も大事だと思います。教授はディスカッションをまめにしてくれるか等も。
きっと、もうしてると思うんですが、ホームページは意外と役に立ちます。
きちんとした研究室だと研究テーマを丁寧に説明していたりします。

無理かなーと思っても、理系の大学院は今から準備すれば、以外とレベルの高い問題のところでも受かったりします。
私の友達でも、C ばっかとってたやつが飛んでもないところに受かったりしてます。
研究室の定員もあるのでそういうことも聞いてきたほうがいいです。

また、余計なお世話かもしれないんですが、英語は点取れないとやばいので
少しづつでも文献を読むなどして、慣れておくといいと思います。


人気Q&Aランキング