1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

多変量解析の本を読んでいたら、上記の式が出てきました。
どうして左側の式が右側の式になるのかわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

何故1/6がでてくるのかについて一言。


1+2+3+...+n=n(n+1)/2
の式を導くのに三角形の面積を求めるときと同じようなことをしているのをご存知でしょうか。
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
の式は三角錐の体積を求めるのと同じようなことをします。
で、底面の三角形の面積を求めるときの1/2と錐の体積を求めるときの1/3が
あわさって1/6が出て来るわけです。
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この回答へのお礼

nagata さん、ご回答ありがとうございます。
三角形の面積や体積が関係するとは知りませんでした。

統計に関する公式の成り立ちについては、数理統計学の本を
読むとよいことがわかりました。東大出版会や倍風館から
よい参考書が出ているようなので、探して読んでみます。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/16 23:16

S_n=1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2 とさせてください。



まず次の式を考えます!

(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1

この式のkに1からnまでの値を代入

k=1 のとき 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
k=2 のとき 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
・ ・
・ ・
・ ・
k=n-1 のとき n^3 - (n-1)^3 = 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
k=n のとき (n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1

上にできたn個の式の辺々を加えると

(n+1)^3 - 1^3 = 3*(1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2) + 3*(1+2+...+(n-1)+n) + 1*n
n^3 + 3n^2 +3n +1 -1 = 3*S_n + 3*(1/2)n(n+1) + n

1+2+...+(n-1)+n=(1/2)n(n+1) を断わりなく使うことをお許し下さい。

3*S_n = n^3 + 3n^2 +3n - (3/2)n^2 - (3/2)n - n
= n^3 + (3/2)n^2 + (1/2)n
= (1/2)(2n^3+3n^2+n)
= (1/2)n(2n^2+3n+1)
= (1/2)n(n+1)(2n+1)
よって

S_n = (1/6)n(n+1)(2n+1)

以上です。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

せっかくご回答いただいたのに申し訳ありませんが、私の
質問の仕方が悪かったようなので、訂正させてください。

なぜ突然1/6が出てくるのかがわからなかったので、左の式と
右の式がイコールになる証明というより、左の式が右の式に
変わっていく過程を知りたいと思っています。

補足日時:2001/05/14 09:26
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この回答へのお礼

lovebeliever さん、丁寧なご回答ありがとうございます。

実際に説明を追いながら計算してみようと思いましたが、
数Iも赤点のレベルなので「上にできたn個の式の辺々を加えると」
の次の式でわからなくなってしまいました。

ご説明はプリントアウトして保存しておき、本を読み進めながら
また日を改めて読み返して挑戦してみます。

とり急ぎお礼まで。

お礼日時:2001/05/14 13:16

高校の数学で数列を学んだ時に出てきた覚えがありますが,そのときは,確か数学的帰納法で証明したと思います。


n
Σ i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
i=1
を示す。
(1) n=1のとき
左辺=1,右辺=1*/2*3/6=1で成立。

(2) n=kのとき成立していると仮定する。すなわち,
k
Σ i^2 = k(k+1)(2k+1)/6
i=1
とする。このとき,n=k+1の場合を考えると,
左辺は,仮定より
k+1
Σ i^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
i=1
= (強引に展開。中略)
= (2k^3 + 9k^2 + 13k +1) / 6

右辺は,証明すべき式にn=k+1を代入して
 (k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}/6
= (これもひたすら展開。中略)
= (2k^3 + 9k^2 + 13k +1) / 6
= 左辺

よって,n=kのとき成り立てばn=k+1のとき成り立つ。
以上より,全ての自然数iに対して与式は成立する。(証明終わり)

もっとかっこいい証明方法があるのかもしれませんが,それは他の方のお答えを待ちましょう。
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この回答へのお礼

puni2 さん、わかりやすいご回答をありがとうございます。

実際にご回答の通りに式を展開してみましたら、
(2k^3 + 9k^2 + 13k + 6) / 6 で、同じ値になりました。

本にも帰納法と書いてありましたが、実際に証明するとこの
ようになるのですね。

お礼日時:2001/05/14 13:05

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