比較定理についてです。

＜比較定理＞

ΩをR^n上の有界領域とし、Ω*をΩに閉包をとった領域、∂Ωを境界とする。
また、aj(t,x),b(t,x)は[0,T]×Ω*の実数値連続関数とする。
このとき

Ut-ΔU=Σ(j=1～n)aj(t,x)Uxj+b(t,x)U+f(t,x) (0<t≦T,x∈Ω)
U(t,x)=0 (0<t≦T,x∈∂Ω)
U(0,x)=φ(x) (x∈Ω）

の解について考える。
初期条件を２通り、φ1(x)、φ2(x)としたときの解をそれぞれU1,U2とする。
このときφ1(x)≦φ2(x) (x∈Ω)ならばU1≦U2 (0<t≦T、x∈Ω)
が成り立つ。


この比較定理の証明はどのようにできるのでしょうか？
どなたか証明を解説お願いいたします。
（～を使う、～参照ではなく、詳しい証明のみ受け付けさせていただきます）

質問文に誤りがありましたらご指摘ください。
すぐに補足させていただきます。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/02 19:54

丸投げはなく、自分でやってみた過程を少しは書いた

詳しい質問のみ受け付けさせていただきます。

この回答への補足

U(t,x)=U2(t,x)-U1(t,x)≧0
を示せばいいということしか見通しがつかなかったので
丸投げさせていただきました。

補足日時：2012/07/02 20:52