f(t)=exp(-at)cos(bt) (t>=0) t<0は、0。をフーリヘ変換したいのですが、どうすればいいでしょうか?
どういうやり方をすればいいのでしょうか?
自分でやってみたのですが、自信がありません。
自分でやってみた考え方はこうです。
cos(bt)=exp(ibt)として、後でReal partをとってやればいいのでは?と思いました。
よって、f(t)=exp(-at)exp(ibt)としました。
ここで、F(ω)=∫[0 to ∞]exp(-at)exp(-iωt)を計算しました。
計算結果は、1/(a+iω)となりました。
フーリヘ変換の性質として、exp(ibt)f(t)=F(ω-b)という性質があるので、
先ほど、得られた、1/(a+iω)を、-bだけ推移させるという考え方で
1/{a+i(ω-b)}となりました。
今回求めているのは、exp(-at)cos(bt)のフーリヘ変換であり、
つまり、1/{a+i(ω-b)}のReal partを取ることにして、
Re[1/{a+i(ω-b)}]=a/{a^2+(ω-b)^2}となりました。
F(ω)=a/{a^2+(ω-b)^2}
となったのですが、このReal partを取る考え方はあっていますでしょうか?
フーリヘ逆変換して答えを確かめようと思ったのですが、
逆変換が分からなく、答えを確かめられないです。
よければ、逆変換もしていただけるとありがたいです。
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
深く考えずに、オカシナ方法で計算を短縮しようとしたから、
A No.5 で指摘したような間違いをしたのだと思う。
正しく考えて、根拠のある計算をするべきだ。淡々とね。
当初の質問は、もう解決されたと思うから、
グラフに関する追加質問には、ここでは答えない。
|F(ω)| の式が間違っている とだけ言っておく。
その式では、√F(ω) になってしまう。
No.6
- 回答日時:
A No.2 に、ほとんど答えに近いものが書かれてあるのに、
自分では、やってみないの?
∫f(t)exp(-iwt)dt = ∫exp(-at)(1/2){exp(ibt)+exp(-ibt)}exp(-iwt)dt
= (1/2){ ∫exp(-(a-ib+iw)t)dt + ∫exp(-(a+ib+iw)t)dt }
= (1/2){ 1/(a-ib+iw) + 1/(a+ib+iw) } ←収束するのは、a>0 のときだけ
= (a+iw)/{(a-ib+iw)(a+ib+iw)}
= (a+iw)/{(a+iw)^2 + b^2}
被積分関数は複素値だが、実変数で積分しているので、
複素積分と言うほどのものでもない。
No.2 の人に、ちゃんとお礼をしないとね。
この回答への補足
理解できました。そういうことでしたか。
深く考えずに単純に淡々と計算していけばいいのですね。
実は、この問題には、フーリエ変換を求めて、a=1,b=0としてその絶対値(|F(ω)|)をとった値を求め、それはどのようなグラフになるかというような問題だったのですが、これはフーリエ変換さえできれば、おそらくできるだろうと思って質問しなかったのですが、これに関しては、
a=1,b=0を代入すれば、(1+iω)/(1+iω)^2=1/(1+iω)となって、
絶対値ということは、複素共役をかけて、そのルートをとるのだから、
それを計算したら、√{(1-iω)/(1+ω^2)}となりました。
これでOKでしょうか?グラフに関してはわかりませんでした。どのようなグラフになるのですか?√がついているので難しいです。
No.4
- 回答日時:
だから、フーリヘ変換ではないってば。
Fourierという数学者の名前です。
この回答への補足
フーリエということは、知っていましたが、タイプミスをしていたようです。
というより、カタカナに変換したときに、一番最初にフーリへででてきて、気付かずそのままになってしまいました。
No.3
- 回答日時:
フーリエ変換の定義には、いくつかのバリエーションがあるが、
流石に ∫[0 to ∞] ってことはないと思う。
貴方の教科書の定義を確認してごらん。
参考: http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/fourier. …
この回答への補足
使ったフーリヘ変換の定義式は、∫[-∞ to ∞]f(t)exp(-ikt)dtというものです。
これは、問題文にこの定義式を使いなさいと書いてありました。
∫[0 to ∞]は、問題から負の領域、t<0では、f(t)=0なので、0から∞の範囲に限って考えました。
それで、答えはあっているのでしょうか?
それとも、複素積分を使って計算するべきですか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 数学 離散フーリエ逆変換が周波数分割数をNにできる理由について 4 2022/09/18 12:56
- 数学 数学の質問です。 関数f(t)のフーリエ変換をF(ω)=∫[-∞→∞]f(t)exp(-iωt)dt 1 2023/07/29 01:08
- 数学 f(x)=exp(-(2x-a)^2)のフーリエ変換の求めろという問題分かりません。教えて欲しいです 2 2022/12/18 18:15
- 工学 【制御工学】単位ステップ応答の遅れ時間の求め方(令和2年度の機械設計技術者試験(制御工学)の問題) 3 2022/11/02 10:51
- 物理学 電磁気学の問題について教えて欲しいです. 1 2023/05/05 17:01
- 統計学 統計学についての質問です 1 2022/11/08 13:51
- 数学 paythonを使用した周回積分に関する質問です。 2 2023/02/17 19:09
- 数学 積分 大学数学・物理 1 2023/01/30 19:43
- 数学 フーリエ変換後の負の周波数成分の扱いについて 4 2022/09/03 10:18
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1分45秒75で289,995円稼ぐA君が...
-
5進法を10進法への直し方
-
50以下は“50”も入るのですか?
-
Excel 16進数
-
16進小数0.Cを10進数小数に変換...
-
HEX2BIN関数の使い方。
-
フーリエ変換・逆変換の虚数成...
-
偏微分の記号をタイプするため...
-
二進数の循環小数を十進数に変...
-
8進数から16進数 16進数から8進数
-
ヤコビアンが0になってしまう場...
-
ACアダプターの消費電力の件
-
2進数の0.101101101101・・・...
-
単位の変換(立方メートルをc...
-
10進数の50を2進数で表すといく...
-
EXCELで10進数表記をB...
-
dBm→dBμV/mの換算について
-
dBm/HzからdBm/MHzへの単位変換
-
幾何と代数は同じ数学でしょうか
-
Excelにて、時間(8:30等)を数...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
50以下は“50”も入るのですか?
-
5進法を10進法への直し方
-
16進小数0.Cを10進数小数に変換...
-
Excel 16進数
-
HEX2BIN関数の使い方。
-
なんでですか?
-
dBm/HzからdBm/MHzへの単位変換
-
dBm→dBμV/mの換算について
-
EXCELで10進数表記をB...
-
ACアダプターの消費電力の件
-
平行の記号
-
10進数の50を2進数で表すといく...
-
フーリエ変換・逆変換の虚数成...
-
小学4年生の算数(小数)の問題で...
-
対数変換する意味?
-
算数計算 大至急お願いします
-
=(イコール)の上下に点々があ...
-
「じじょう」が正しい読み方?
-
デシベルから加速度の変換について
-
フーリエ変換、逆変換の「2π」の...
おすすめ情報