4/5=(1/A)+(1/B)+(1/C)
A、B、Cの値とこの問題の解き方を教えてください

A 回答 (7件)

No.4で回答したHitomiKuroseです。

度々すみません。
途中30/7とあるのも20/3の間違いです。

(30/7もA=3のときの値です)
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No.4で回答したHitomiKuroseです。

ケアレスミスがあります。
途中15/7とあるのは10/3です。

(15/7はA=3のときの値です)
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ご質問にお答えします。


A、B、Cが0でなく かつ
A≠B≠Cの整数とします。
4/5=(1/A)+(1/B)+(1/C)で
(1/A)=a,(1/B)=b,(1/C)=cとすると
4/5=a+b+c これを書き換えると
8/10=a+b+c 分母が10で分子の和が8になるということ
よって 解1  a=(1/10)の場合
        b=(2/10)
        c=(5/10)、または
解2  a=(1/10)の場合
        b=(3/10)
        c=(4/10)となるが3/10が整数にならないので解2は不適
解1のa,b,cをA,B,Cに戻すと
        A=10,B=5,C=2となります。
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A.B,Cが正整数の場合ならA≦B≦Cとして


4/5=1/A+1/B+1/C≦3/AよりA≦15/4
1/A<1/A+1/B+1/C=4/5よりA>5/4
よってA=2,3

A=2のとき1/B+1/C=3/10だから
3/10=1/B+1/C≦2/BよりB≦30/7
1/B<1/B+1/C=3/10よりB≧15/7
よってB=4,5,6
同様にA=3のときはB=3,4

後はしらみつぶしで、(A,B,C)=(2,4,20),(2,5,10)の2解のみ
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解が三つなので他のも条件がほしい所です。


A=B=C≠0
A<0、B<0、C<0、自然数とします。
A<B<C 異なる値とします。
A=2,B=5,C=10
A=2,B=4,C=20
この条件ですと他にも回答があるみたいですね。
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エジプト分数でしたかねぇ? <この手の問題


A<B<Cとして解きます。

この手の問題は、(1/n)(nは自然数)を大きい方から随時減算していけば答えが出ます。

n=2の場合
(4/5)>(1/2)ですから、(4/5)から(1/2)を引きます。
 (4/5)-(1/2)=(8/10)-(5/10)
    =(3/10)

n=3の場合
(3/10)<(1/3)となる為、(1/3)は引けません。

n=4の場合
(3/10)>(1/4)ですから、(3/10)から(1/4)を引きます。
 (3/10)-(1/4)=(6/20)-(5/20)
    =(1/20)

差が(1/20)ですからココで終了します。

で、上記操作から、
(4/5)=(1/2)+(1/4)+(1/20)
となり、
A=2,B=4,C=20
が導かれます。
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A,B,Cはそれぞれ異なる値でなければいけないのでしょうか?


A=BあるいはA=Cでも良ければ解はありますが・・・?

補足お願いします。
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Aベストアンサー

blackleonさん、こんにちは。

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
>上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので

ということですが、ちょっと変形してみると

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
a+b+c=(bc+ca+ab)/abc=(a+b+c)/abc・・・(★)

というところから、
a+b+c=(a+b+c)/abc
(a+b+c){1-(1/abc)}=0
ゆえに、
a+b+c=0または1-(1/abc)=0すなわちabc=1
と出てくるんじゃないでしょうか。

a+b+c=0またはabc=1のいずれかがいえるので、場合わけしないといけないのではないでしょうか。

さて、1,/a,1/b,1/cなどが実数として存在するので
a≠0,b≠0,c≠0はいえるのかなと思います。
そうすると

(1)a+b+c=0のとき(★)は

(ab+bc+ca)/abc=0
ab+bc+ca=0

ところで、a+b+c=0より、c=-(a+b)ですのでこれを代入すると
ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)^2=0
a^2+ab+b^2=0
となりますが、これをaについての2次方程式だとみて判別式をとると
D=b^2-4b^2=-3b^2
これが0以上であるためには、b=0でなければならないが
1/bが存在するためにはb≠0であったから、(1)の場合は不適。

よって
(2)abc=1
の場合だけを考えればいいことになると思います。

blackleonさんの解き方いいと思いますが、文字を消去して
式変形で無理やり持っていってもいいかも。

a+b+c=ab+bc+caを変形。
abc=1より、c=1/abを代入(a≠0,b≠0)

1/a+1/b+1/c=1/ab+1/bc+1/caに代入

1/a+1/b+ab=1/ab+(a+b)/abc
{b+a+(ab)^2}/ab={1+ab(a+b)}/ab
両辺ab倍して
(a+b)+(ab)^2=1+ab(a+b)
(a+b){1-ab}+(ab-1)(ab+1)
=(1-ab){(a+b)-(ab+1)}=0
ゆえに、ab=1またはa+b-ab-1=0

ab=1のとき、abc=1とあわせて、c=1となって
少なくとも一つ1であるを満たす。

a+b-ab-1=0のとき、
(a-1)(b-1)=0と同じであるから、a=1またはb=1

となって、a,b,cいずれかは1である。
・・・と無理やり持っていきましたが、いつも素晴らしい解法が見つかるわけではないので
文字を消去していくのは確実ですよ。

blackleonさん、こんにちは。

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
>上記の式から、abc=1, a+b+c=ab+bc+caがいえると思うので

ということですが、ちょっと変形してみると

a+b+c=(1/a)+(1/b)+(1/c)=(1/ab)+(1/bc)+(1/ca)
a+b+c=(bc+ca+ab)/abc=(a+b+c)/abc・・・(★)

というところから、
a+b+c=(a+b+c)/abc
(a+b+c){1-(1/abc)}=0
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a+b+c=0または1-(1/abc)=0すなわちabc=1
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Aベストアンサー

反例:
xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
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c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
ですが、 c + √b という形を見ただけでは、√b が「 + (x-a) 」に由来するものなのか、g(a,|x-a|)の|x-a|に由来するものなのか、g()に由来する xに依存しない定数√b なのか、判断できません。

Q(a+b−1)(a+b+1)の計算方法は、 a×a+b×b−1a+b+1a+b+(−1)1 =a^2

(a+b−1)(a+b+1)の計算方法は、

a×a+b×b−1a+b+1a+b+(−1)1
=a^2+b^2−1

であっていますでしょうか?

Aベストアンサー

順番通りに機械的に計算するのがコツです。

左の a と 右の a, -b, +1 をかける。
左の b と 右の a, -b, +1 をかける。
左の -1 と 右の a, -b, +1 をかける。

これを 「a・aがあって、b・bがあって...」と考えながらやると、抜けが出てしまいます。

あとは、既に出ていますが X=a+b とすると、よく知られた公式だけで解くことができて簡単になります。

Qk= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d <1 の最大値

a,b,c,d(a≦b≦c≦d)は自然数で,
k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d <1
を満たしている.
k の最大値と,そのときの a,b,c,d の値を求めたいのですが、、、。

a=2。としてよいでしょうか?

4変数の問題をn変数に変えても、a,b,c,dの値は常に等しいでしょうか?

Aベストアンサー

この問題、面白いなと思ってもう少し考えてみたのですが、
k=1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n)
としてkが最大になるように数列a(n)を決めていくと、
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43,a(5)=1807,a(6)=3263443,…
となって、
a(n)=a(1)a(2)…a(n-1)+1
という漸化式を満たすようです。
積の形になっているので、a(n)は爆発的に増えていきます。

a(2)を決めるときは1/2に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/3。よって、a(2)=3。これは漸化式を満たす。
そして、1/2+1/3=5/6
a(3)を決めるときは5/6に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/7。よって、a(3)=7。これは漸化式を満たす。7=2×3+1。
そして、1/2+1/3+1/7=41/42
このように、ある項までの1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(k)は、
{a(1)a(2)…a(k)-1}/a(1)a(2)…a(k)の形になっている。
そして、次に足すのは1/{a(1)a(2)…a(k)+1}である。
よって、a(k+1)=a(1)a(2)…a(k)+1

このようなメカニズムになっているようです。

この問題、面白いなと思ってもう少し考えてみたのですが、
k=1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n)
としてkが最大になるように数列a(n)を決めていくと、
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43,a(5)=1807,a(6)=3263443,…
となって、
a(n)=a(1)a(2)…a(n-1)+1
という漸化式を満たすようです。
積の形になっているので、a(n)は爆発的に増えていきます。

a(2)を決めるときは1/2に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/3。よって、a(2)=3。これは漸化式を満たす。
そして、1/2+1/3=5/6
a(3)を決めるときは5/6に加え...続きを読む

Q4a+b=1 3a-c=1 3b+4c=-1 の3つの式を使ってa.b.cを求めることはできますか?

4a+b=1
3a-c=1
3b+4c=-1 の3つの式を使ってa.b.cを求めることはできますか?

Aベストアンサー

a.b.c の関係を求める事は出来ますが、
夫々の値を特定する事は出来ません。

理由は、上二つの式から三つ目の式が出来るので、
実質二つの式しかない事になりますから。

3つに式を上から、①②③とすると、
①を3倍して 12a+3b=3 → 12a=3-3b
②を4倍して 12a-4c=4 →  12a=4+4c
従って、3-3b=4+4c → 3-4=4c+3b
で、③の式と同じになります。


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