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次の三重積分を求めよ。

∫∫∫D xyz dxdydz D:x^2+y^2+z^2≦a^2 x≧0 y≧0 z≧0

途中式を詳しくお願いします!
解説もあれば嬉しいです…

A 回答 (3件)

球座標に変数変換して積分する方法はA#2のようにして出来ますから、ここでは、xyz座標のまま積分する方法でやってみます。


a>0としておきます。

I=∫[D] xyz dxdydz
=∫[0,a]ydy∫[0,√(a^2-y^2]xdx∫[0,√(a^2-x^2-y^2)]zdz
=∫[0,a]ydy∫[0,√(a^2-y^2]xdx [(1/2)z^2][z:0,√(a^2-x^2-y^2)]
=∫[0,a]ydy∫[0,√(a^2-y^2] (1/2)x(a^2-x^2-y^2)dx
=∫[0,a]ydy [(-1/8)(a^2-x^2-y^2)^2][x:0,√(a^2-y^2]
=∫[0,a] (1/8)y(a^2-y^2)^2 dy
=[(-1/48)(a^2-y^2)^3][0,a]
=(1/48)a^6
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極座標に置換してから積分するのが定石。



x = rsinφcosθ
y = rsinφsinθ
z = rcosθ
dxdydz = r^2sinθdrdθdφ
D:x^2+y^2+z^2≦a^22 x≧0 y≧0 z≧0 ⇒ r=0~a, θ=0~π/2, φ=0~π/2

後は、3回変数別に積分するだけになります。
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どこがわからん?

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Q【三重積分】球の体積の求め方

x=rsinθcosω
y=rsinθsinω
z=rcosθ

上記の変数変換を使った三重積分で球の体積を求める時、θの範囲が0≦θ≦πとなるのはなぜでしょうか?(ωの範囲は0≦ω≦2πとなるのに、なぜθは0≦θ≦2πにはならないのでしょうか。)

Aベストアンサー

参考URLの例5の図を見てください。球座標の図があると思います。ω=φと置き換えてください。点PをP(x、y、z)とします。球の体積を考えるのでrは一定です。

θはz軸の正の方向とベクトルOPのなす角です。例えばP(0,0、r)のときはθ=0、P(0,0、-r)のときはθ=πです。0≦ω≦2π、0≦θ≦π、rは一定とすればxyz空間に半径rの球が描けることが分かるかと思います。

参考URL:http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/juusekibun.html

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q三重積分の解き方

問題は

D:x^2+y^2+z^2≦a^2(但しaは正の定数)
とするとき、
∫∫∫D 1/(x^2+y^2+(z-2a)^2)dxdydz
の値を求めよ。

です。

積分の仕方が少しわかりませんでした。
一生懸命考えてみたのですが、積分で詰まりました。
もしわかる人がいましたら教えてください。

Aベストアンサー

半径 a の球内についての積分ですから,極座標を使う一手でしょう.

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosφ
として,積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
体積要素が
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
ですから,被積分関数を r,θ,φ で表して,結局
(1)  ∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を計算すればいいことになります.
φは(1)の被積分関数に含まれませんから因子 2π を与えるだけで
(2)  2π∫∫r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を求めればOKです.
先にθの積分をやります.
いい具合に t = cosθ と置いたときの dt = - sinθ dθがちょうど分子にあります.
したがって,本質は ∫dy/(by-c) のタイプの積分で,
(2)  (1/2)πr {log(2a+r) -log(2a-r)}
あとは(2)を r について 0 から a まで積分すればよく
(本質的には ∫y log (by+c) dy のタイプの積分),
(3)  2πa{1 - (3/4) log(3)}
が最終的結果です.

本質的に難しい積分はありませんが,
項をまとめたりするときに私が計算ミスをしている可能性もあります.
チェックもよろしく.

半径 a の球内についての積分ですから,極座標を使う一手でしょう.

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosφ
として,積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
体積要素が
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
ですから,被積分関数を r,θ,φ で表して,結局
(1)  ∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を計算すればいいことになります.
φは(1)の被積分関数に含まれませんから因子 2π を与えるだけで
(2)  2π∫∫r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を求めればOKです.
先にθ...続きを読む

Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q重積分について教えてください。

重積分の回答を教えてください。

次の重積分を極座標変換にて求めよ。また、積分の領域を図示せよ。

1、∬D(-x^2-y^2+1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1}
2、∬D(1/(x^2+y^2+2))dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0}

お手数ですが、回答と積分領域の図をお願いいたします。

Aベストアンサー

1
積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部(円の境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2


積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部で第一象限の部分「1/4円」(境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2}
∬_D 1/(x^2+y^2+2)dxdy
=∬_E 1/(r^2+2)|J|drdθ
=∫[0,π/2]dθ∫[0,1] 1/(r^2+2) rdr
=(π/2)∫[0,1](1/2)(r^2)'/(r^2+2)dr

あとは合成関数の積分公式を適用するだけなのでご自分でやってください。

=(π/4)ln(3/2)

1
積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部(円の境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2


積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部で第一象限の部分「1/4円」(境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)...続きを読む

Q三重積分の意味

閉空間Dにおいて∫∫∫dxdydzを計算することは

Dの内部の体積を求めることですが、ある関数f(x)を

Dの領域で∫∫∫f(x)dxdydzと計算したときに出てくる

数字はいったい何を表しているのでしょう?

例えば∫∫∫dxdydz(x^2+y^2+z^2≦1)は単位球の体積で

3π/4ですが、∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz(x^2+y^2+z^2≦1)は

144π/5でこれっていったい何の数値?

Aベストアンサー

質量の定義:
M=∫∫∫[D] ρ(x,y,z)dxdydz
は閉領域Dの質量を表し、
特に密度ρ(x,y,z)=1のときは
V=∫∫∫[D] dxdydz
は閉領域Dの体積に等しくなります。

>∫∫∫dxdydz(x^2+y^2+z^2≦1)は単位球の体積で
>3π/4
これか半径1の球体の体積ですね。

>∫∫∫[D}(x^2+y^2+z^2)dxdydz(D:x^2+y^2+z^2≦1)は
>144π/5でこれっていったい何の数値?

球の中心からの距離r=√(x^2+y^2+z^2)に対し
ρ(x,y,z)=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=r^2なので
この3重積分は、密度が球体の中心からの距離の2乗に比例する閉領域の立体の質量になります。中心の密度ρ(0,0,0)=0,球面の密道ρ(x,y,z)=1です。

なお、
>∫∫∫[D} f(x)dxdydz(D:x^2+y^2+z^2≦1)は
密度ρ(x,y,z)=f(x)と言うことなので、密度はx方向にのみ変化し、y,z方向には依存しないようなケースの閉領域の立体の質量になります。

質量の定義:
M=∫∫∫[D] ρ(x,y,z)dxdydz
は閉領域Dの質量を表し、
特に密度ρ(x,y,z)=1のときは
V=∫∫∫[D] dxdydz
は閉領域Dの体積に等しくなります。

>∫∫∫dxdydz(x^2+y^2+z^2≦1)は単位球の体積で
>3π/4
これか半径1の球体の体積ですね。

>∫∫∫[D}(x^2+y^2+z^2)dxdydz(D:x^2+y^2+z^2≦1)は
>144π/5でこれっていったい何の数値?

球の中心からの距離r=√(x^2+y^2+z^2)に対し
ρ(x,y,z)=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=r^2なので
この3重積分は、密度が球体の中心からの距離の2乗に比例する閉領域の立体の質量になり...続きを読む

Q極座標による重積分の範囲の取りかた

∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2)
を極座標でに変換して求めよ。

という問題で、

x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、
rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。


x^2+y^2
= (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2
= r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2}
= r^2< = π^2

とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか?
rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
0≦r≦π、0≦θ<2πです。(-π<θ≦πでもよいです。
等号もどっちにつけても良いです)

ちなみに極座標ではr≧0です。

極座標は原点からの距離rと、x軸とのなす角θを使った点の表示
方法です。

Q∫x^2√(1-x^2)の不定積分

∫x^2√(1-x^2)の不定積分の問題なんですが,
つぎのように解いてみたんですが,

∫x^2√(1-x^2)dx
=3x^3√(1-x^2)-∫x^3[√(1-x^2)]'dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{-2x/[2√(1-x^2)]}x^3dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{x^4/√(1-x^2)}dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx+∫dx/√(1-x^2)
=3x^3√(1-x^2)-∫(1+x^2)√(1-x^2)dx+sin^-1x
左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して
2∫x^2√(1-x^2)=(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C
よって
∫x^2√(1-x^2)=1/2{(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C}

となりました。途中式・解答はあってますか?

Aベストアンサー

細かいところで間違いがあるようです.係数の間違いなど.

1行目から,
  √(1-x^2)の係数は,3 ではなく,1/3
  そして,第2項の係数が抜けていて,これも 1/3
2行目以降では,上のミスは除いて指摘します.
4行目
  ∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx ⇒ ∫{(1-x^4)/√(1-x^2)}dx
  第3項の係数が抜けていて,これも 1/3
7行目
  左辺 2∫x^2√(1-x^2)の係数,4/3
  右辺の第1項 (3x^3-1)√(1-x^2)
     ⇒ (1/3)x^3√(1-x^2) - (1/3)∫√(1-x^2)dx
  という風に,積分が抜けている.

答えは,
与式 = (1/8)*{x(2*x^(2) - 1)√(1-x^2) + arcsinx}
となります.微分して確認済み.

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

Q三重積分 (x^2+y^2+z^2)dxdydz

範囲はこれで与えられています。x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1
x=a*r*sinθcosλ
y=b*r*sinθsinλ
z=c*r*cosθ とおきました。rは0から1まで、θは0からpiまで、λは0から2piまでだと思います。ヤコビアンはabcr^2sinθになります。それを普通に積分していたのですが、答えが合わなかったのです。私のやり方が正しいかどうかだけを教えてほしいです。
よろしくおねがいします

Aベストアンサー

a>0,b>0,c>0として
∫∫∫{x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1}(x^2+y^2+z^2)dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦1,0≦θ≦π,0≦λ≦2π}  
 (r^2)abc(r^2)sinθdrdθdλ
=abc∫{0≦λ≦2π}dλ*∫{0≦θ≦π}sinθdθ
*∫{0≦r≦1}r^4 dr

>私のやり方が正しいかどうかだけを教えてほしいです。

上のような積分になれば合っています。

>答えが合わなかった。
答えまでの計算が書いてないので、答えまでの途中計算はチェックできません。

正しく計算すれば
=(4/5)πabc
となります。


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